Bestimmen Sie alle Matrizen B mit der Eigenschaft A x B x A = A. Wobei A= {{1,0,1},{1,1,0}}

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Matrix \( A = \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right) \)

Bestimmen Sie alle Matrizen B mit der Eigenschaft A x B x A = A.

{{1,0,1},{1,1,0}} {{a,b},{c,d},{x,y}} {{1,0,1},{1,1,0}} = {{1,0,1},{1,1,0}} 

Welche unter diesen Lösungsmatrizen erfüllen die Zusatzbedingungen, dass beide Matrizenprodukte A x B und B x A symmetrische Matrizen darstellen?

Comments

Setze für B eine passende Matrix mit 6 Variabeln ein. Und führe die Matrixmultiplikationen von Hand durch. Vgl. Resultat hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C0%2C1%7D%2C%7B1%2C1%2C0%7D%7D+%7B%7Ba%2Cb%7D%2C%7Bc%2Cd%7D%2C%7Bx%2Cy%7D%7D+%7B%7B1%2C0%2C1%7D%2C%7B1%2C1%2C0%7D%7D+%3D+%7B%7B1%2C0%2C1%7D%2C%7B1%2C1%2C0%7D%7D+

Nun daraus noch  ein Gleichungssystem mit 6 Unbekannten machen und 6 Gleichungen machen.
a+b+x+y= 1

b+y = 0 usw.

Dann mögl. viele Unbekannte eliminieren. Z.B. mit Einsetzungsverfaheren.


a+b+x+y= 1
b+y = 0→b = -y usw.


a-y+x+y= 1
a+x= 1 ---> a = 1-x usw.

Answer 1

A = [1, 0, 1; 0, 1, 1]

B = [a, b; c, d; e, f]

A*B*A = [a + e, b + f, a + b + e + f; c + e, d + f, c + d + e + f] = [1, 0, 1; 0, 1, 1]

a + e = 1
b + f = 0
a + b + e + f = 1 automatisch erfüllt
c + e = 0
d + f = 1
c + d + e + f = 1 automatisch erfüllt

Ich wähle e und f als Freiheitsgrad und erhalte

a = 1 - e
b = -f
c = -e
d = 1 - f

B = [1 - e, -f; -e, 1 - f; e, f]

Die Zusatzaufgabe sollte dir jetzt nicht mehr so schwer fallen. Bilde A*B und B*A und schaue welche symmetrisch sind.