Komplexe Nullstellen von Polynomen

Question

Aufgabe:

Sei q(x) ein Polynom mit reellen Koeffizienten, d.h. q(x) = a₀ + a₁x + a₂x² +...+a_nxⁿ mit a_j ∈ R, j = 0,...,n. Sei weiter z = a+bi eine komplexe Nullstelle von q mit Vielfachheit m. Dann ist auch z ̄ = a − bi eine komplexe Nullstelle von q(x) mit Vielfachheit m und (x² − 2ax + a² + b²)^m ist ein Faktor von q(x), d.h. q(x)=(x² −2ax+a² +b²)^m·r(x) ,wobei r(x) ein Polynom vom Grad n−2m ist.

Kann mir bitte jemand helfen dies zu zeigen??

Lieben Dank

Answer 1

"z = a+bi ist komplexe Nullstelle von q mit Vielfachheit m" bedeutet (x-z)^m ist Potenz eines Linearfaktors von q. Da alle Potenzen von (x-z) komplexe Zahlen enthalten und q nur reelle Koeffizienten enthält, muss muss die Potenz eines Linearfaktors (x-\( \overline{z} \))^m existieren, denn (x-z)^m·(x-\( \overline{z} \))^m=(x²-2ax+a²+b²)^m  ist frei von komplexen Koeffizienten.

Comments

Dankeschön, den Ansatz konnte Ich nachvollziehen.

Was mir noch nicht klar ist, ist das das Polynom vom Grad n-2m ist.

Das ist dadurch mit dem Faktor r(x) ja nicht gezeigt.