Definition (Teilmenge):
\(A\subseteq B{\iff} \forall x \in A : x\in B\) \(\text{Für alle } x \text{ aus } A \text{ gilt, dass } x \text{ auch in } B \text{ ist.}\)
Definition (echte Teilmenge):
\(A\subset B \iff A\subseteq B\land A\neq B\) \(A \text{ ist Teilmenge von } B \text{ und } A \text{ ungleich } B.\)
\(A\) ist eine Menge, die die Zahlen 1 und 2 enthält, also \(1\in A\) und \(2\in A\).
\(P(A)\) ist eine Menge, die die leere Menge, die Menge mit der 1, die Menge mit der 2 und die Menge mit den Zahlen 1 und 2 enthält.
Das heißt: \(\{\}\in P(A)\), \(\{1\}\in P(A)\), \(\{2\}\in P(A)\), \(\{1,2\}\in P(A)\).
Wir erkennen also: Kein Element aus \(A\) - nämlich 1 und 2, ist in der Menge \(P(A)\) enthalten. Dort sind nur Mengen von Mengen enthalten. Also gilt \(A\not\subset P(A)\)!
Es gilt aber \(A\in P(A)\), weil die Menge \(\{1,2\}\) in der Menge \(P(A)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\textcolor{red}{\{1,2\}}\}\) enthalten ist.
