Funktionentheorie - Gaußsche Zahlenebene

Question

Moin Leute, ich habe hier Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe, unzwar weiß ich nicht wie man hier alle Punkte/Gebiete in die Gaußsche Zahlenebene zeichnet, für die folgendes gilt:

(a) \( |z-1 / 2|>1 / 2 \) und \( |z|<1 \)
(b) \( \left(\frac{x}{a}\right)^{2}+\left(\frac{y}{b}\right)^{2}>1, \) wobei \( z=x+i y, a, b>0 \)
(c) \( \left|z-z_{1}\right|=\left|z-z_{2}\right| \) für gegebene \( z_{1}, z_{2} \)
(d) \( z^{3}=1 \),
(e) \( z=t+2 e^{i t}, \) für \( t \in[0, \pi] \)

Answer 1

Ersetze z durch x+iy und du hast beim ersten

| x+iy-0,5| > 0,5    und |x+iy| < 1

Dann die Beträge ausrechnen

√ (x-0,5)^2 + y^2 ) > 0,5     und √(x^2 + y^2) < 1

Da Wurzeln nie negativ sind kannst du hemmungslos quadrieren

(x-0,5) ^2 + y^2 > 0,25     und  x^2 + y^2 < 1

Da erkennst du sicherlich ( wenn du < , > durch = ersetzt) Kreisgleichungen:

K1: um (0,5 ; 0 ) mit r = 0,5   (blau)  und K2:  um ( 0;0) mit r=1 (grün)

Das < statt des = bedeutet: Das Innere dieser Kreise

und > das Äußere.

Die gesuchte Menge ist also alles außerhalb des

kleinen Kreises, was im Inneren des großen liegt.

also sowas wie : Inneres von K2 \ K1 .

~draw~ kreis(0.5|0 0.5);kreis(0|0 1);zoom(4) ~draw~

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Klasse, ich danke dir!

Answer 3

d) 3 Punkte/lösungen daa es die 3te Wurzel ist.

\( \frac{2π}{3} \) für die weiterentten zwei lösungen