Volumenintegral über eine Hohlkugel bestimmen

Question

Hallo at all,

ich möchte bzw. muss folgendes Volumenintegral bestimmen:

F=int_V ( r - r' ) / | r - r' |³ dV'

F, r und r' sind Vektoren im R³ und das Volumen V ist eine Hohlkugel mit Innenradius Ri und Außenradius Ra.

Danke euch für jede Hilfe

Hans

Answer 1

Aloha :)

Verwende Kugelkoordinaten für den Vektor $\vec r\,'$ zum Differential $dV'$, um das gesamte Volumen $V$ der Hohlkugel abzutasten, also:$$\vec r\,'=\begin{pmatrix}R\cos\varphi\sin\vartheta\\R\sin\varphi\sin\vartheta\\R\cos\vartheta\\\end{pmatrix}\quad;\quad R\in[R_i;R_a]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in[0;\pi]$$

Wegen der Kugelsymmetrie des Problems, kannst du dir die Rechnung erheblich vereinfachen, wenn du den Vektor $\vec r$ (ohne Strich) in Richtung der $z$-Achse legst, also $\vec r=(0;0;r)$.

Das Integral sieht dann wie folgt aus:

$$\vec F=\iiint\limits_V\frac{\vec r-\vec r\,'}{\left\|\vec r-\vec r\,'\right\|^3}\,dV'$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^\pi \int\limits_{R_i}^{R_a}\frac{1}{(R^2\sin^2\vartheta+(r-R\cos\vartheta)^2)^{3/2}}\begin{pmatrix}-R\cos\varphi\sin\vartheta\\-R\sin\varphi\sin\vartheta\\r-R\cos\vartheta\\\end{pmatrix}\,R^2\sin\vartheta\,dR\,d\vartheta\,d\varphi$$

Das brauchst du jetzt "nur noch" auszurechnen ;)

Comments

Hey Tschakabumba,

https://www.mathelounge.de/769440/kettenregelformel-fur-eine-funktio…

Ich habe zu deiner Antwort hier einen Kommentar (Verständnisfrage) angefügt. Wahrscheinlich hast du die Frage schon abgeschlossen; daher kann ich sie hier gerne nochmal verlinken.

Würde mich freuen, wenn du nochmal darauf eingehen könntest :)

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Ah, danke dir sehr. Der entscheidende Hinweis war der mit der Symmetrie. Dadurch vereinfacht sich die Rechnung sehr. Wir haben es nun hingekriegt...