Beweisen Sie anhand der Definition des Binomialkoeffizienten, dass für alle Zahlen n ∈ N, n > 7 gilt

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie anhand der Definition des Binomialkoeffizienten, dass für alle Zahlen
n ∈ N, n > 7 gilt

$${n-1\choose 6} < {n\choose 7}$$

Problem/Ansatz:

Ich habe nun den Binomialkoeffizienten ersetzt, allerdings weiß ich nicht, wie ich mit dem n-1 verfahren soll.

Comments

Ich habe nun den Binomialkoeffizienten ersetzt,

Wodurch hast du ihn denn ersetzt?

Hast du auch schon versucht, 6 gleiche Faktoren zu kürzen?

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habe durch \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \) ersetzt, allerdings weiß ich jetzt auch nicht, ob ich hier das n mit n -1 ersetzen muss, oder wie ich dann weiterkomme.

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Tipp: \(\displaystyle\binom n7-\binom{n-1}6=\tfrac1{5040}(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)\).

Answer 1

(n - 1 über 6) < (n über 7)

(n - 1)! / ((n - 7)!·6!) < n! / ((n - 7)!·7!)

(n - 1)! / 6! < n! / 7!

(n - 1)! / 6! < (n - 1)!·n / (6!·7)

1 < n / 7

Comments

Jo, vielen Dank!
Das klingt sehr gut und ist, soweit ich das beurteilen kann, das was gefordert war, zumindest habe ich meinen Fehler erkannt und konnte diesen korrigieren.

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Ich denke auch das es so gefordert war, weil explizit gesagt wurde, ihr sollt es mit der Definition beweisen.

Answer 2

Aloha :)

Hier ist eigentlich gar nicht viel zu tun. Für den Binomialkoeffizienten gilt die Entwicklungsregel$$\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\cdot\binom{n-1}{k-1}$$Damit steht die Aussage schon da:$$\binom{n}{7}=\frac{n}{7}\cdot\binom{n-1}{6}>\binom{n-1}{6}\quad\text{wenn }n>7$$