Boolesche Algebra | Tautologie oder nicht?

Question

Aufgabe: Boolesche Algebra | Tautologie oder nicht?

A und B sind logische Aussagen. Entscheiden und Begründen sie, ob es sich um eine Tautologie handelt.

Mein Weg:

Text erkannt:

\begin{tabular}{c|c|c|c}
\( \mathrm{A} \) & \( \mathrm{B} \) & \( \mathrm{A} \wedge \overline{\mathrm{B}} \) & \( \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} \) \\
\hline 1 & 1 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 0 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 1 & 0 \\
\hline 0 & 0 & 0 & 1
\end{tabular}

Wie komme ich da weiter?

Comments

Mr. Boole möchte nicht Bolgi genannt werden!

;-)

Answer 1

Alles richtig, jetzt machst du noch die Wahrheitstafel für den anderen Ausdruck auf der rechten Seite und kombinierst dann beide mit der Äquivalenz.

Wenn dann für alle Kombinationen immer der Wahrheitswert 1 herauskommt, ist es eine Tautologie.

$$\begin{array}{c}A & B & \neg A & \overbrace{A\implies B}^{Z} & \neg B & \overbrace{A\land \neg B}^{C} & \overbrace{C\implies \neg A}^{D}& Z \iff D\\\hline 0& 0 & 1& 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\0& 1 & 1 & 1 & 0& 0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\end{array}$$ usw. verstehst du? Es ist also eine Tautologie Für eine Tautologie müssen nämlich alle Wahrheitswerte 1 sein.

Comments

Du meinst für "nicht A" Für nicht A ist es ja so:

Text erkannt:

\begin{tabular}{c|c|c}
\( \mathrm{A} \) & \( \mathrm{B} \) & \( \mathrm{A} \) \\
\hline 1 & 1 & 0 \\
\hline 0 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 0 \\
\hline 0 & 0 & 1
\end{tabular}

---

Du brauchst noch die Spalte für \((A\land \neg B)\implies \neg A\) und dann insgesamt noch für \(A\implies B\iff (A\land \neg B)\implies \neg A\). Wenn für alle Kombinationen dann 1 herauskommt, ist es eine Tautologie

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Also erweitere deine Tabelle einfach immer mehr, bis du dann die gesamte Formel betrachtet hast. ich füge dir gleich noch mit in meiner Antwort hinzu, wie ich das meine .

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Text erkannt:

\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
\( \mathrm{A} \) & \( \mathrm{B} \) & \( \mathrm{A} \wedge \overline{\mathrm{B}} \) & \( \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} \) & \( \mathrm{A} \wedge \overline{\mathrm{B}} \rightarrow \overline{\mathrm{A}} \) \\
\hline 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
\hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
\hline 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{tabular}

Also gibt es keine Tautologie, nicht drei mal 1 in einer Reihe ist?

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Ja, genau. Aber deine Tabelle ist noch nicht vollständig. Es fehlt noch $$\textcolor{red}{A\implies B}\iff (A\land \neg B)\implies \neg A.$$ Guck dir meine Tabelle an. Wenn einer der Werte bei der Gesamtaussage nicht 1 ist, dann ist es keine Tautologie. Ich habe dir meinen Ausschnitt aus der Tabelle mal hinzugefügt. Der reicht schon, um zu zeigen, dass es keine Tautologie ist.

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Jetzt alles soweit klar? Habe dir meine Antwort noch etwas ausführlicher gemacht.

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Wo ist deine Tabelle?

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Gucke in meine Antwort, ich habe sie dort eingefügt. Hier nochmal extra: \(\begin{array}{c}A & B & \overbrace{A\implies B}^{Z} & \neg B & \overbrace{A\land \neg B}^{C} & \overbrace{C\implies \neg A}^{D}& Z \iff D\\\hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0& \textcolor{red}0 \\ \dots \end{array}\)

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Ah ok. Verstehe. Also muss ich das jetzt mit allen mit allesn vier Zeilen machen und schauen ob eine 1 raus kommt. Und falls nicht, ist es keine Tautologie.

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Sry, ich hatte mich bei der Zeile vertan. Jetzt ist es richtig. Es ist also doch eine Tautologie.

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Ok.

Text erkannt:

\( \overbrace{C \Longrightarrow \rightarrow A}^{D} \)

Kannst du mir diese Zeile erklären?

(A und nicht B)  folgt nicht A

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$$\begin{array}{c} A &B& \neg A& \neg B& A \land \neg B & (A \land\neg B) \implies \neg A\\\hline 0 &0&1&1&0&1\\ 1 &0&0&1&1& 0\\ 0 &1&1&0& 0&1\\ 1 &1& 0& 0 & 0 &1 \end{array}$$

Ist das verständlicher so? Das liegt daran, dass 0 => 1 und 1 => 1 und 0 => 0 wahr ist, aber 1 => 0 falsch. Guck dir dafür mal die Wahrheitstabelle von \(A\implies B\) an: $$\begin{array}{c}A & B & A\implies B\\\hline 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0& 1\end{array}$$

Alles klar?

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In wie fern hat das (folgt nicht A) Einfluss auf diesen Prozess von (A und nicht B)

Das (folgt nicht A) dreht ja alle nullen und Einsen.

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Du betrachtest den Wahrheitswert von "(A und nicht B)=C" zuerst, weil wir ja die Klammersetzung beachten müssen. Also den berechneten Wahrheitswert benutzt du dann für "C folgt nicht A". Deswegen habe ich erst die Teilaussagen berechnet, um dann einfacher die komplexen Aussagen zu berechnen.

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Ok. Wie kann aus C nicht A folgen. In C ist doch jetzt kein A mehr drin. Sondern nur C. Oder macht das aus C = Nicht A und nicht B ? Nein das passt auch nicht. Die gegebenen werte von A und B werden ja auch nicht genutzt. Wie machst du aus C folgt Nicht A da deine Werte.

Den Weg verstehe ich nicht

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Das kommt hiervon: $$\begin{array}{c|c|c}X & Y & X\implies Y\\\hline 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0& 1\end{array}$$

Hier nochmal die Tabelle:$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}A & B & \neg A & \overbrace{A\implies B}^{Z} & \neg B & \overbrace{A\land \neg B}^{C} & \overbrace{C\implies \neg A}^{D}& Z \iff D\\\hline 0& 0 & 1& 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\0& 1 & 1 & 1 & 0& 0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\end{array}$$

Also Zeile für Zeile
1. Zeile: (A und nicht B)= 0 folgt (nA)= 1, also: 0 => 1 ist wahr, also 1
2. Zeile: (A und nicht B)= 1 folgt (nA)= 0, also: 1 => 0 ist falsch, also 0
3. Zeile: (A und nicht B)= 0 folgt (nA)= 1, also: 0 => 1 ist wahr, also 1
4. Zeile: (A und nicht B)= 0 folgt (nA)= 0, also: 0 => 0 ist wahr, also 1
Das hängt mit der Definition von der Implikation "\(\implies\)" zusammen.

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Habe mein Kommentar (direkt über dem hier) nochmals bearbeitet, aktualisiere die Seite und gucke dir das Mal an. Verstehst du es jetzt besser?

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Die Implikation sagt doch folgendes:

Aus (A und nicht B) FOLGT nicht A

Warum betrachten wir jetzt

Es geht doch um

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Ja, das Rote hängt mit dem Grünen zusammen. Ich wollte dir nur kurz zeigen wie die Implikation allgemein definiert ist, damit du es verstehst. In unserem Falle sieht das leider genau gleich aus und lässt den Anschein erwecken, dass beides nicht voneinander abhängt. Das stimmt natürlich nicht, es hängt sehr wohl voneinander ab! Nur kommt halt in unserem Fall das Gleiche wie bei \(A\implies B\) heraus. Daher sind es auch Tautologien. Man kann die eine Seite in die andere überführen. Beide Aussagen sind nämlich äquivalent.

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Also weil halt gerade \(A\Rightarrow B\) (die linke Seite) äquivalent - in Zeichen "\(\Leftrightarrow\)" - zu der rechten Seite \((A\land \neg B)\Rightarrow \neg A\) ist, sind auch ihre Wahrheitstabellen gleich. Das hat dich wahrscheinlich verwirrt.

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Danke dir schon mal für deine Hilfe. Ich geh das jetzt nochmal in Ruhe durch.

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Frage ruhig, wenn es noch nicht ganz klar ist.

Edit: Gerne!
OK! Melde dich einfach nochmal, falls doch noch was unklar ist.

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Ich habs verstanden.


Wir haben:

C   -   A
0          0
1          1
0          0
0          1

Und das nicht A mach aus dem A das:
C   -   A
0          1
1          0
0          1
0          0

Und nun C → A



0 zu 1 = richtig=  1
1 zu 0 = falsch=  0
0 zu 1 = richtig=  1
0 zu 0 = richtig= 1



Ich muss sagen, dass ist schon etwas Komplex. Danke dir Doesbaddel, dass du dir die Zeit genommen hast!

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Ja, gerne! Also hast du jetzt alles verstanden, ja?

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Ja habe es verstanden :D

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Supi. :) \({}{}{}{}{}{}\)

Answer 2

Aloha :)

Ich würde gar nicht so viel boolsche Gymnastik mit Wahrheitstafeln machen, sondern die rechte Seite der Behauptung genauer betrachten:$$(A\land\lnot B)\implies\lnot A$$Die Negation dieser Aussage lautet:$$A\implies\lnot(A\land\lnot B)=\lnot A\lor\lnot(\lnot B)=\lnot A\lor B=B\quad\text{d.h.}\quad A\implies B$$Da \(A\) nach Voraussetzung zutrifft, ist \(\lnot A\) falsch und rechts bleibt \(B\) alleine stehen.

Damit haben wir die ursprüngliche Äquivalenzrelation umgeformt zu:$$(A\implies B)\;\Longleftrightarrow\;(A\implies B)$$Es handelt sich also um eine Tautologie.

Comments

Ich hatte es auch erst falsch, es ist doch eine Tautologie.

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Stimmt, Doesbaddel, mein Denkfehler.

Ich habe die Aussage ja exakt negiert.

Ich korrigiere das direkt.

Danke dir ;)

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Gern geschehen :D