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Hallo Leute! Ich brauche dringend eure Hilfe bei diesen Aufgaben. Hoffentlich könnt ihr mir helfen! Ich bedanke mich schonmal im voraus!

Die Aufgabe:

Dachrinnen können einen runden oder einen rechteckigen Querschnitt haben, beide Formen haben Vor- und Nachteile. Runde Formen minimieren den Materialverbrauch, rechteckige Formen lassen sich leichter herstellen und befestigen. Klempnermeister Hausmann will Dachrinnen mit rechteckigem Querschnitt anfertigen. Dafür stehen ihm Streifen aus Kupferblech zur Verfügung. Die Streifen sind 3m lang und 25cm breit. Die Dachrinnen sollen möglichst viel Wasser aufnehmen können. Dafür muss die vom Blech umrandete Fläche maximal sein. Herr Hausmann hat gehört, dass ein Quadrat das Rechteck ist, das für einen festen Umfang den größten Flächeninhalt besitzt.

Herr Hausmann überlegt:

Trifft das auch für ein offenes Rechteck zu?

- Wenn ich die Seiten 5cm hoch biege, wie groß ist dann der Querschnitt?

- Wenn ich die Seiten 7cm hoch biege, wie groß ist dann der Querschnitt?


Arbeitsauftrag:

- Beantworten Sie die Fragen von Klempnermeister Hausmann.

- Formulieren Sie einen begründeten Vorschlag für Herrn Hausmann: wie hoch soll er die Seiten biegen, damit die Dachrinne möglichst viel Wasser aufnehmen kann?

- Berechnen Sie, wie viel Wasser eine 3m lange Dachrinne fassen kann, wenn sie randvoll gefüllt ist; geben Sie das Ergebnis in Litern an.

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Beste Antwort

A(x) = (25 - 2·x)·x = 25·x - 2·x^2

A(5) = 75 cm²

A(7) = 77 cm²

A'(x) = 25 - 4·x = 0 --> x = 6.25 cm

Die Seiten sollten 6.25 cm hoch gebogen werden

A(6.25) = 78.125

V = 78.125·300 = 23437.5 cm³ = 23437.5 ml = 23.44 l

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Haben sie auch die letzte Aufgabe, mit der 3m langen Dachrinne?

Ja. Lies dir meine Antwort vollständig durch.

Alles klar :)

Da stehen ja jetzt aber nur die Lösungen, können sie mir sagen, wie sie auf diese Ergebnisse gekommen sind, damit ich das besser verstehe?

25 - 4·x = 0

Schaffst du es selber, diese Gleichung nach x aufzulösen?

A(6.25) = ...

Schaffst du es selber. x = 6.25 in A(x) einzusetzen und auszurechnen?

V = 78.125·300

Schaffst du es selber 78.125·300 auszurechnen und die Einheit umzurechnen?

Wenn du etwas nicht alleine schaffst dann sage bitte womit du genau Probleme hast, dann kann ich besser helfen.

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Herr Hausmann hat gehört, dass ein Quadrat das Rechteck ist, das
für einen festen Umfang den größten Flächeninhalt besitzt.
Herr Hausmann überlegt
Trifft as auch für ein nach oben offenes Rechteck zu ?

Nein

gm-001-a.jpg


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Hallo,

Herr Hausmann hat gehört, dass ein Quadrat das Rechteck ist, das für einen festen Umfang den größten Flächeninhalt besitzt.
Trifft das auch für ein offenes Rechteck zu?

Die Antwort ist JA! es trifft immer zu - man muss aber das Quadrat zunächst mal wiederfinden! Betrachten wir dazu zunächst ein beliebiges Rechteck und fragen uns, wie es bei konstantem Umfang(!) aussehen muss, damit sein Flächeninhalt maximal wird:

blob.png

Antwort: wie ein Quadrat. Das  abgebildete Rechteck und das Quadrat haben beide den gleichen Umfang von 24. Das Quadrat ist mit einem Flächeninhalt von 36 aber um 4 größer als das Rechteck mit einer Fläche von 32.

Wichtig: was für das ganze Rechteck bzw. Quadrat gilt, gilt auch für halbe Rechteck bzw. das halbe Quadrat. Auch das halbe Quadrat ist größer als das halbe Rechteck. Und beide Hälften haben den gleichen 'Umfang' von 12 - exklusiv der Strecke, wo beide Flächen halbiert worden sind.

Folglich schein die rot markierte Form einer rechteckigen Dachrinne, die genau ein halbes Quadrat darstellt, die in der Fläche maximale zu sein.

Wenn ich die Höhe dieses halben Quadrats mit \(a\) bezeichne, so ist die Breite \(2a\). Variiere ich die Höhe um ein Maß \(x\) - das kann positiv oder negativ sein - so wird die Höhe zu \(a+x\) und die Breite zu \(2(a-x)\). Die Fläche \(F\) inklusive dieser Variation wäre dann$$F = (a+x) \cdot 2(a-x) = 2(a^2 - x^2)$$D,h, unabhängig vom Vorzeichen von \(x\) wird die Fläche \(F\) immer kleiner, wenn \(x\) von \(0\) abweicht.

Daraus folgt: die Bauform einer rechteckigen nach oben offenen Dachrinne hat bei konstantem Materialeinsatz, genau dann das maximales Fassungsvermögen, wenn Breite zu Höhe sich wie \(2\div 1\) verhalten.

In Deinem konkreten Fall wären das eine Breite von \(25\, \text{cm} / 2 = 12,5\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(25\,\text{cm}/4 = 6,25\, \text{cm}\).

Gruß Werner

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