Zeige, dass die Dreiecke ABC und A₁B₁C₁ ähnlich sind.

Question

Aufgabe:

Zeige, das die Dreiecke ABC und A₁B₁C₁ ähnlich sind.

Problem/Ansatz:

Auf den Seiten AB, BC und CA eines Dreiecks ABC liegen drei von den verschieden Punkten C₁, A₁ und B₁. Es gilt :

$\frac{|AC₁|}{|C₁B|}$=$\frac{|BA₁|}{|A₁C|}$=$\frac{|CB₁|}{|B₁A|}$ und ∠BAC=∠B₁, A₁, C₁.

Zeige : Die Dreiecke ABC und A₁B₁C₁ sind ähnlich.

Ich kann bisher nur erkennen, dass A₁B₁C₁ nach Voraussetzung gleichseitig ist.

Die Dreiecke AB₁C₁, BA₁C₁ und CA₁B₁ scheinen mir kongruent zu sein, aber ich wüsste nicht, wie ich das belegen kann.

Wie kann man diese Aufgabe lösen ?

Vielen Dank für alle Hilfen!

Comments

Ich kann bisher nur erkennen, dass A₁B₁C₁ nach Voraussetzung gleichseitig ist.

Ich kann das nicht erkennen, denn dazu müsste ja das gegebene Dreieck ABC - wenn die zu beweisende Behauptung tatsächlich zutrifft - auch schon gleichseitig gewesen sein. Diese Zusatzvoraussetzung steht aber nicht in deinem geposteten Aufgabentext.

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Aber die Winkel bei A₁, B₁ und C₁ sind doch nach Aufgabe gleich groß und die Punkte bilden ein Dreieck, also müsste das Dreieck nach Innenwinkelsatz doch gleichseitig sein, oder hab ich da einen fatalen Denkfehler ?

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Ich vermute mal, die Kommas müssen weg.

∠B₁, A₁, C₁. soll sicher ∠B₁A₁C₁. heißen.

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Die exakte Schreibweise ist :

|∠BAC|=|∠B₁, A₁,C₁|

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Ich denke, ich habe einen Ansatz.

Die Winkel des Dreiecks A₁B₁C₁ sind gleich groß, das Dreieck somit gleichseitig.

Wir sehen uns nun die Dreiecke A₁B₁C, A₁BC₁ und AB₁C₁ an. Sie haben jeweils eine Seitenlänge gemeinsam (gleichseitiges Dreieck). Die 180° Winkel bei A₁, B₁ und C₁ bestehen alle aus den 60° Winkeln des gleichseitigen Dreiecks und je einem Winkel zwei benachbarter Dreiecke (A₁B₁C, A₁BC₁ und AB₁C₁).

Könnte man irgendwie beweisen, dass diese drei Dreiecke kongruent sind ?

Answer 1

Hallo,

Der Beweis ist inTeil 2 der Antwort (s.u.). Hier kommt vorher

Teil 1

Folgendes sind die Ergebnisse, die ich zu dem Thema heraus gefunden habe.

Zuerst führe ich eine Punkt $Q$ ein. $Q$ halbiert die Strecke $B_1C_1$ und liegt auf der Mittelparallelen durch $M_bM_c$.

Um dies zu zeigen betrachte ich die beiden Parallelen zu $BC$ durch die Punkte $B_1$ und $C_1$ (lila gestrichelt). Da $|AC_1| \div |C_1B| = |CB_1| \div |B_1A|$ ist, hat die Parallele durch $C_1$ den selben Abstand zu $A$ wie die Parallele durch $B_1$ zu $BC$. Folglich haben beide Parallelen den gleichen Abstand zur Mittelparallelen durch $M_bM_c$ und diese Mittelparallele ist auch Mittelparallele zu den lila gestrichelten Geraden. Somit halbiert diese Mittelparallele die Strecke $B_1C_1$ und der Punkt $Q$ liegt auf derselben.

Der Punkt $A'$ sei das Spiegelbild von $A$ an $Q$. Und da $Q$ auf der Mittelparallelen $M_bM_c$ liegt, muss $A'$ auf $BC$ liegen. Das Viereck $AC_1A'B_1$ ist ein Parallelogramm.

 

Weiter betrachte ich den Umkreis $k$ des Dreiecks $\triangle AC_1B_1$ und sein Spiegelbild $k'$ an $B_1C_1$ (beide grün). $k'$ schneidet $BC$ in zwei Punkten. Einer der Punkte ist zwangsläufig $A'$, da $A'$ sowohl auf $BC$ als auch auf $k'$ liegen muss. Den zweiten Punkt nenne ich $X$.

Das nächsten Bild zeigt das Dreieck $\triangle A_1B_1C_1$ und einige Winkel:

 

Die Winkel $\angle BAC$, $\angle B_1A'C_1$ und $\angle B_1XC_1$ (blau) sind gleich, da sie Umfangswinkel in zwei Kreisen $k$ und $k'$ mit identischem Radius über der gemeinsamen Sehne $B_1C_1$ sind. Es ist offensichtlich, dass es außer den Punkten $A'$ und $X$ keinen weiteren Punkt auf der Geraden $BC$ gibt, von dem aus die Strecke $B_1C_1$ unter dem Winkel $\angle BAC$ erscheint.

Verschiebt man nun die Punkte $A_1$ bis $C_1$ derart, dass $A_1$ auf $A'$ fällt ...

... so ist das nur möglich, wenn $|BA_1| \div |A_1C| = 1$ ist. Das folgt aus der Forderung, dass $B_1A'$ parallel zu $AB$ verläuft (Parallelogramm) und somit gleichzeitig $$|AB_1|\div |B_1C| = |BA'| \div |A'C| = |BA_1| \div |A_1C| = |B_1C| \div |AB_1|$$sein muss. Es ist leicht zu zeigen, dass in diesem Fall die Dreiecke $\triangle A_1B_1C_1$ und $\triangle ABC$ ähnlich sind.

Verschiebt man die Punkte $A_1$ bis $C_1$ derart, dass $A_1$ auf $X$ fällt, kommt der interessantere Teil ;-)

In diesem Fall ist der Winkel $\angle C_1B_1A_1$ gleich zu $ACB$ (beide gelb), Was noch zu beweisen wäre!

Der Mittelpunkt von $k'$ liegt dann auf der Mittelsenkrechten von $BC$ (rot strich-punkt). Dies muss so sein, da wegen der geforderten Verhältnisse und der Parallelität von $B_1A'$ zu $AB$ der Punkt $A'$ auch das Spiegelbild von $A_1$ an $M_a$ ist. Fällt $X$ mit $A_1$ zusammen, so liegt der Mittelpunkt $M$ von $k'$ auf der Mittelsenkrechten der Strecke $XA'$, die jetzt mit $A_1A'$ zusammen fällt und somit auf der Mittelsenkrechten von $BC$.

Teil 2: Nachtrag

Ich hatte oben schon gezeigt, dass es einen Punkt $A'$ gibt, der einer der Schnittpunkte des Umkreises von $\triangle A_1B_1C_1$ mit der Geraden $BC$ ist. Fällt $A_1$ mit $A'$ zusammen, liegt der Trivialfall vor, für den die beiden Dreiecke ähnlich sind (s. vorletztes Bild).

Liegt $A_1$ nicht auf $A'$ so gilt weiterhin, dass $B_1A' \parallel AB$ ist und darauf folgt:$$\angle CA'B_1 = \angle CBA = \beta \quad \text{(rot)}$$und da $\angle CA'B_1$ und $\angle A_1C_1B_1$ beide Umfangswinkel im selben Kreis (grün) über der selben Sehne $A_1B_1$ sind, müssen diese beiden Winkel (rot) ebenfalls gleich sein.

Zwei Dreiecke, bei denen zwei von drei Winkeln gleich sind, sind ähnlich. Somit ist $\triangle ABC$ ähnlich zu $A_1B_1C_1$ q.e.d.

Bem.: sollte $A_1$ näher bei $B$ als bei $C$ liegen, so läuft die Argumentation über $\gamma$ (gelb) und die Parallelität von $A'C_1 \parallel CA$.

Gruß Werner

Comments

Da hast du dich aber zielsicher um den allgemeinen Fall (nicht Seitenmittelpunkte) gedrückt. Wenn du ein beliebiges Dreieck und ein beliebiges Verhältnis nimmst, ist eventuell die Forderung nach den beiden gleichen Winkeln gar nicht erfüllt.

Die Abbildung zeigt ein Teilverhältnis 2:1, wo aber die geforderte Winkelgleichheit nicht erfüllt ist.

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Hallo @ Werner

deine Folgerung aus den Verhältnissen 1:1 zu folgern ist falsch!  man muss zeigen dass das aus dem gleichen Winke folgt! den kann man  ohne die Verhältnisse auch ohne parallele haben. Erst das Zusammenspiel ergibt das 1:1 und dammit parallel

Gruß lul

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@abakus, lul: Ihr habt Recht. Ich glaube heute ist nicht mein Tag, meine letzte Antwort war auch im ersten Versuch falsch :-/

... ich denke noch nach!

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Entschuldigt bitte, dass ich hier nochmal anklopfe, aber es scheint mir, dass der Post untergegangen ist. Ideen sind weiterhin mehr als willkommen :)

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Ideen sind weiterhin mehr als willkommen :)

ich bin tatsächlich noch dran. Ich finde das Thema interessant. ;-)

Leider habe ich nicht so viel Zeit. Ich werde versuchen, heute Abend meine bisherigen Erkenntnisse zu veröffentlichen.

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Das verstehe ich natürlich, vielen Dank :)

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hallo

zeige dass für  die Punkte als Halbierungspunkte die Dreiecke ähnlich sind und der Winkel gleich, wenn das Verhältnis ein anderes ist ist der Winkel nicht gleich.

Gruß lul

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Das wird man nicht zeigen können.

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Beitrag zur Aufgabe erneuert (s.o.)

PS.: wo kommt die Aufgabe überhaupt her??

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Erst einmal möchte ich ein ganz großes Bravo aussprechen!

An unserer Schule unterrichtet ein sehr motivierter Mathelehrer, wenn man es milde ausdrückt. Er gibt immer Extra-Aufgaben für die, die es aus Spaß an der Freude machen möchten. Die Aufgabe war die Krönung, wenn man das so sagen kann.

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Erstaunlich dass der Mathelehrer immer die Aufgaben von Jugend trainiert Mathematik an seine Schüler gibt, obwohl er das vermutlich gar nicht darf.

Zurück zur Mathematik: @Werner-Salomon: Welches Programm ist das denn, was die Zeichnungen erstellt?

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Welches Programm ist das denn, was die Zeichnungen erstellt?

Die interaktive Geometrie-Software Cinderella -> https://cinderella.de.

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Die interaktive Geometrie-Software Cinderella

Vielen Dank @Werner-Salomon.

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ich habe das fehlende Puzzlestück noch gefunden :-)

Der Beweis sollte nun komplett sein (s. Teil 2 der Antwort).

Answer 2

Hallo

wieso soll A1B1C1 gleichseitig sein, eigentlich kann ja ABC ein beliebiges Dreieck sein. wenn du dann de A1 usw auf der Mitte der Seiten annimmst, ist von alleine der Winkel  bei A und A' gleich, und die Dreiecke sind ähnlich mit halber Seitenlänge. wenn man dagegen die Seiten nicht  halbiert, kann der Winkel nicht gleich sein.

Warum machst du nicht eine Skizze mit einem beliebigen Anfangsdreieck?

Gruß lul

Comments

Laut Aufgabenstellung sind die Winkel bei A₁, B₁ und C₁ ja gleich groß ( gleich dem Winkel BAC). Das Dreieck, das durch diese Punkte gebildet wird, müsste dann doch nach Innenwinkelsatz gleichseitig sein, da 180:3=60. Habe ich da etwa falsch gedacht ?