Kann mir jemand helfen, wie man bei dieser Aufgabe vorzugehen hat? Danke euch.
Eine Funktion \( u: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) heißt harmonisch, wenn \( \Delta u:=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0 \) (Laplace'sche
Differentialgleichung).
(a) Beweisen Sie, dass eine zweimal stetig differenzierbare Funktion \( u: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) genau dann Realteil einer holomorphen Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{C} \) ist, wenn \( u \) harmonisch ist.
(b) Für welche \( a, b \in \mathbb{R} \) ist das Polynom \( x^{2}+2 a x y+b y^{2} \) Realteil einer auf ganz \( \mathrm{C} \) holomorphen Funktion? Geben Sie wenn möglich so eine holomorphe Funktion an.
