Berechnen Sie die Geschwindigkeit v des Autos, Differentialgleichungen

Question

Es bezeichne $r(t)$ die Position des Autos auf trockener Fahrbahn, $v(t)$ die Geschwindigkeit des Autos und $a(t)$ die Beschleunigung des Autos jeweils zur Zeit $t$.

Sei $t_{1}:=t_{\mathrm{SE}}+t_{\mathrm{R}}+t_{\mathrm{UA}}=1.1 \mathrm{~s}$ die Summe der Zeiten $t_{\mathrm{SE}}=0.1 \mathrm{~s}$ (Sehen & Erkennen), $t_{\mathrm{R}}=0.9 \mathrm{~s}$ (Reaktion) und $t_{\mathrm{UA}}=0.1 \mathrm{~s}$ (Umsetzen \& Ansprechzeit),. Weiter sei $t_{2}:=t_{\mathrm{SZ}}=0.3 \mathrm{~s}$ die Schwellzeit. Dies liefert die (zeitabhängige) Bremskraft

$K(t)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & , 0 \leqslant t \leqslant t_{1} \\ \left(t-t_{1}\right) \frac{K_{\max }}{t_{2}} & , t_{1} \leqslant t \leqslant t_{1}+t_{2} \\ K_{\max } & , t \geqslant t_{1}+t_{2} \end{array}\right.$

mit maximaler Bremskraft $K_{\max }=6500 \mathrm{N}$. Das Auto habe ein Gesamtgewicht von $m=1000 \mathrm{~kg}$ und die Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}=50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ im Ort $r_{0}=0 \mathrm{~m}$ zur Anfangszeit $t_{0}=0 \mathrm{~s}$

a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit $v$ des Autos.

b) Berechnen Sie den Anhalteweg $r$ des Autos.

Mir ist klar, wie ich Gleichungen aufstelle, um die Geschwindigkeit sowie den Anhalteweg des Autos in Abhängigkeit von der Bremskraft zu berechnen. Ich kann dies jedoch nicht mit der Reaktions+Schwellzeit welche hier ja 1,4 ist Rechenweise in Verbindung bringen. Die Geschindigkeit müsste ja erst nach t=1,4sek anfangen als negative Beschleunigung abzunehmen, kann dies jedoch in der Gleichung nicht miteinbeziehen..

Answer 1

Die Dgl. lautet $$\ddot{x} = -\frac{K(t)}{m}$$ Diese muss für die verschiedenen Zeitabschnitte gelöst werden.

Im Zeit Abschnitt $0 \le t \le t_1$ ergibt sich die Lösung $$s_1(t) = v_0 t$$

Auf dem zweiten Abschnitt   $t_1 < t < t_1+t_2$   ergibt als Lösung $$s_2(t) = -\frac{ K_{Max} }{ 6 \ m \ t_2 }( t - t_1 )^3 +\dot{s_1}(t_1) (t - t_1) + s_1( t_1 )$$ und für den dritten Abschnitt   $t > t_1 + t_2$  ergibt sich $$s_3(t) = -\frac{ K_{Max} } { 2 \ m } ( t - t_1 - t_2)^2 + \dot{s_2}(t_1+t_2) (t-t_1-t_2) + s_2(t_1+t_2)$$

und für die Geschwindigkeiten muss man die Ortsfunktionen auf den jeweiligen Zeitabschnitten nach $t$ ableiten.

Es ergibt sich für den ersten Abschnitt $$\dot{s_1}(t) = v_0$$ für den zweiten Abschnitt $$\dot{s_2}(t) = -\frac{ K_{Max}}{ 2 \ m \ t_2 } (t-t_1)^2 + \dot{s}(t_1)$$ und für den dritten Abschnitt $$\dot{s_3}(t) = -\frac{ K_{Max}}{m}(t-t_1-t_2) + \dot{s_2}(t_1+t_2)$$

Das Auto kommt zum halten, wenn $s_3(t+t_1+t_2)=0$ gilt. Es ergibt sich $$t = \frac{ m }{ K_{Max} } \dot{s_2}(t_1+t_2) = 7.54 \text{s}$$

Comments

Hallo danke für die Antwort .. Verstehe nicht ganz wie sie im 2 und 3 Schritt auf das Paket $s_2(t) = -\frac{ K_{Max} }{ 6 \ m \ t_2 }( t - t_1 )^3 +\dot{s_1}(t_1) (t - t_1) + s_1( t_1 )$ gekommen sind ... Durch integrieren der ausgangsgleichung nachdem man für k die entsprechenden Werte eingesetz hat schätze ich, doch irgendwie verstehe ich nicht wie man auf die ganzen t Ausdrücke kommen soll. mfg

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Du musst die durch $K(t)$ vorgegebenen Abschnitte zweimal integrieren, entsprechend den Newtonschen Bewegungsgleichungen. Dann müssen noch die Anfangsbedingungen richtig gesetzt werden. Umgekehrt kannst Du auch die Lösung zweimal differenzieren und überprüfen ob die gegebenen Funktionen für die einzelnen Abschnitte sich wieder ergeben. Auch die Anfangsbedingungen solltest Du überprüfen.

Answer 2

hallo

während der Anfangszeit  also bis t1 fährt er wohl mit der Anfangsgeschwindigkeit. 50k/h

ich denke Schwellzeit  ist so gemeint, dass die Kraft in den 0,3s von 0 auf Max steigt, das steht ja auch  bei K da danach konstant bleibt bis v=0

also musst du auch Weg und Zeit in 3 Abschnitten hinschreiben  bzw. berechnen,

Gruß lul