Berechnen sie die Menge f^-1... sin

Question

Aufgabe:

Es sei f:R-> R, x-> f(x) = sin(x) die sinusfunktion auf R. Berechnen sie die Menge f^-1( Z).

Problem/Ansatz:

Mir ist bewusst, dass es sich bei dem Urbild von sin um den arcsin handelt und das R auf Z abgebildet werden soll. Das bedeutet also ich soll die Menge finden, die f^-1 also der arcsin mit den ganzen Zahlen annehmen kann.

Nun habe ich eben dass für Z ⊆R heißt f^-1(Z) = {xeR | sin(x)eZ} das Urbild von f(x) =sin(x)

Nun meine Frage war das alles oder stimmt das überhaupt ??

Answer 1

Aloha :)

Gesucht ist die Menge \(f^{-1}(\mathbb Z)\) derjenigen Argumente, für die die Sinus-Funktion ganzzahlig wird. Du musst dir also überlegen, welche Argumente der Sinus-Funktion \(-1\), \(0\) oder \(1\) liefern. Das soll deine Lösung offensichtlich ausdrücken. Du sollst die Werte aber auch tatsächlich explizit angeben:$$\sin(z\cdot\pi)=0\quad;\quad\sin\left(2\pi\cdot z+\frac{\pi}{2}\right)=1\quad;\quad \sin\left(2\pi\cdot z-\frac{\pi}{2}\right)=-1$$Das heißt:$$f^{-1}(\mathbb Z)=\left\{x\in\mathbb R\,\left|\,x=\mathbb Z\cdot\pi\;\lor\;x=\mathbb Z\cdot2\pi\pm\frac{\pi}{2}\right.\right\}$$