Besetzung von Plätzen mit Objekten im Kontext der zufälligen Wahl.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei Menge A_4,6 := {(a₁, . . . , a₆) : a_j ∈ ℕ₀, a₁ + · · · + a₆ = 4}, Hierbei handelt es sich um die Besetzungen von g = 6 Plätzen mit n = 4 Objekten, wobei auch mehrfache Belegung erlaubt sein soll.

i.) Nun sei V = (V₁, . . . , V₆) eine auf A_4,6 gleich (uniform) verteilte Zufallsvariable. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass "alle 4 Objekte auf Platz 1 kommen", also P(V₁ = 4).

Problem/Ansatz:

Ich hab bereits folgenden Ansatz:

i.) Interpretation des Sachverhalts als Zustandsraum beim Würfeln mit 4 Würfeln:
1: 1
2: 2
3: 4
4: 5
=> (1,1,0,1,1,0)
1: 2
2: 4
3: 5
4: 1
=> (1,1,0,1,1,0)
....

Ich habe 5 nullen, weil 6 Zahlen und eine 0 ist wie eine "Trennwand"

0 0 0 0 0

Und ich weiß

#A_n,g =  "n + g − 1 über n" gilt.

Allerdings weiß ich nicht wie ich nun auf die konkrete Wahrscheinlichkeit P(V₁= 4) kommen kann.

Würde mich über Hilfe sehr freuen.

Comments

Kann ich hier eventuell die Formel (Anzahl Günstige)/(Anzahl Mögliche) benutzen?

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Da die Zufallsvariable gleichverteilt ist, kannst du die Laplace Formel natürlich benutzen, d.h. du hast deine Antwort eigentlich schon fast gehabt.

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Ich muss doch nur die Verteilungen mit der ersten Position besetzt betrachten oder? Wie kann ich das konkret aufschreiben. Steh etwas auf dem Schlauch und bin bei den ganzen Begriffen etwas durcheinander gekommen.

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Das alle 4 Objekte auf Platz 1 landen, ist doch eine explizite Möglichkeit, also "Anzahl Günstige" = 1. Und die "Anzahl Mögliche" hast du ja oben schon korrekt erwähnt.

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Achso ja. Ich hatte einen Denkfehler bei den der Anzahl der Günstigen. Danke. Also habe ich #A_n,g = "9 über 4" = 126 und somit ist P(V1=4) = 1/126 richtig?

Answer 1

Ich interpretiere die Aufgabe so:

Die Wahrscheinlichkeit für jedes Objekt auf Platz 1 zu kommen ist 1/6.

Dass jedes Objekt auf Platz 1 kommt ist daher

(1/6)^4=1/1296

:-)