Beweisen Sie dass die folgende Menge leer ist.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass die Menge

\( \{x \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{N}: x=5 k+2\} \cap\left\{x \in \mathbb{N} \mid \exists l \in \mathbb{N}: x^{2}=5 l+1\right\} \)

leer ist.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweisen sie das die Menge leer ist

Stichworte: mengen,mengenlehre

Beweisen Sie, dass die Menge
{x ∈ N | ∃k ∈ N : x = 5k + 2} ∩ {x ∈ N | ∃l ∈ N : x² = 5l + 1}
leer ist.

Answer 1

Guck doch erst einmal, welche Zahlen in den beiden Mengen enthalten sind.

In der linken Menge sind das die Zahlen 7, 12, 17, 22, usw.

Offensichtlich alle Zahlen, die mit 7 oder 2 enden.

Bei der rechten Menge ist es etwas schwieriger. Betrachte die Quadratzahlen, die um 1 größer als Vielfache von 5 sind.

x=4 → x^2=16=5*3+1

x=6 → 36=7*5+1

x=9 → 81=16*5+1

x=11 → 121=24*5+1

Hier sind es die Zahlen, die mit 1, 4, 6 oder 9 enden.

Um die Aussage allgemein zu beweisen, musst du mit Restklassen modulo 5 argumentieren.

:-)