Formel finden und durch Induktion beweisen

Question

\(f: ℕ→ℕ,n\mapsto  \sum\limits_{i=0}^{n}{(2i+1)} \)

1) Beschreiben Sie in Worten, was f ist. Berechnen Sie \(f(n)\) für \(n=0,1,2,3,4,5\).

2) Erraten Sie eine Formel für \(f(n)\).

3) Beweisen sie diese Formel mit Induktion.

Die letzte Aufgabe würde ich gerne selber versuchen.

In der ersten Aufgabe muss man doch nur einsetzen oder nicht ? Also einfach die angegeben Zahlen einsetzen und rechnen? Oder soll das Ergebnis gleich 3 sein, wenn man z.B. 3 einsetzt? Weil so komme ich nicht auf ein richtiges Ergebnis ^^

Zudem würde ich bei der ersten Aufgabe sagen, dass f eine Abbildung ist, dessen definitionsberich und Wertebereich bei den natürlichen Zahlen liegt.

Und bei 2) bin ich etwas überfordert ...

Answer 1

Zu 1.)

Zudem würde ich bei der ersten Aufgabe sagen, dass f eine Abbildung ist, dessen Definitionsberich und Wertebereich bei den natürlichen Zahlen liegt.

Ja, das stimmt schon, aber was macht diese Abbildung genau?

In der ersten Aufgabe muss man doch nur einsetzen oder nicht ?

Ja. Für \(n=3\) hat man
\(f(3)= \sum\limits_{i=0}^{3}{(2i+1)}\\=(2\cdot 0+1)+(2\cdot 1+1)+(2\cdot 2+1)+(2\cdot 3+1)=16 \)

Zu 2.) Dazu hast du zwei Möglichkeiten: Entweder du formst diese Summe um und erkennst darin dir bereits bekannte Formeln (hier zb die Gaußsche Summenformel durch Auseinanderzeihen der Summe), die du auf diese Formel zurückführen kannst oder du fängst an, dir die Ergebnisse von \(f(n)\) genauer anzusehen, um eine Struktur in Abhängigkeit von \(n\) zu erkennen.

Comments

Meinst du mit ,,was macht die Abbildung genau?" Eventuell, dass die Abbildung injektiv ist? Weil wegen der +1 die 0 nicht getroffen werden kann?

Ps: DANKESCHÖN, für die super antwort! :)

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Beschreiben Sie in Worten, was f ist.

Das würde ich jetzt so interpretieren: Es handelt sich um eine Partialsummenfolge, bei der beginnend ab \(1\) für alle \(n\in \mathbb{N}\) stets \(n+1\) aufeinanderfolgende ungerade (natürliche) Zahlen aufsummiert werden.

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Ah, okei ich verstehe deinen Punkt.

Gracias !

Answer 2

f(n) ist die Summe der n+1 ersten ungeraden Zahlen

f(0) = 1
f(1)=1+3=4

f(2)=1+3+5=9

etc.

Formel f(n) = (n+1)^2

Bew.:  Für n=0 stimmt es.

Angenommen es gilt für n    #

dann ist zu zeigen f(n+1) = (n+2)^2

Nach Def. von f gilt f(n+1) = f(n) + 2(n+1)+1

     Gibt mit # dann       = (n+1)^2 + 2(n+1) + 1

mit binomi. Formel          ( n+1+1) ^2 = (n+2)^2   q.e.d.

Comments

Die Drei wollte ich zwar alleine versuchen, aber Dankeschön !! ^^

Ich kann dann drüber gucken, wenn ich nicht weiter weiß :P

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Die Drei wollte ich zwar alleine versuchen, aber Dankeschön !! ^^

Ja, das ist das Problem mancher Leute hier.

Da werden Komplettlösungen sogar denen aufgedrückt, die sie explizit ablehnen.