Question

y"'+2y"+2y'+y=t

y(0)=y'(0)=y"(0)=0

Wie muss ich hier vorgehen ? eine Lösung wäre sehr hilfreich.

Answer 1

Hallo,

y"'+2y"+2y'+y=t

-->homog.Gleichung:

y"'+2y"+2y'+y=0

Ansatz:y(t)= e^(λt) , 3Mal ableiten und in die DGL einsetzen:

-Charakt. Gleichung:

λ^3+2λ^2+2λ+1=0 --->Faktorisierung durch Polynomdivison oder Horner Schema ,Raten der 1. Nullstelle -1

(λ+1)(λ^2 +λ+1)=0

λ₁   = -1 --->y1(t)=C₁ e^(-t)

λ_2.3 = -1/2 ±  (√3)/2 *i

-->

y_2.3 =\( C_{2} e^{-t / 2} \cos \left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)+C_{3} e^{-t / 2} \sin \left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right) \)

 ->Tabelle

https://www.micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

y_h=y₁ +y_2.3

_{Ansatz part. Lösung:}

_{yp= A+B t}

_{yp' =B}

_{yp'' =0}

_yp'''=0

_{Einsetzen von yp,yp',yp'',yp''' in die DGL}

_-->

_{yp=t -2}

_y=yh+yp

\( y(t)=c_{3} e^{-t}+c_{1} e^{-t / 2} \sin \left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)+c_{2} e^{-t / 2} \cos \left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)+t-2 \)

->Einsetzen der AWB:

y(0)=y'(0)=y"(0)=0

------>

Lösung:

\( y(t)=t+e^{-t}+\frac{e^{-t / 2} \sin \left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)}{\sqrt{3}}+e^{-t / 2} \cos \left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)-2 \)