Zeigen Sie, dass die Summe konvergiert

Question

Aufgabe:

Sei \( \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) eine Folge mit \( a_{k} \geq 0 \) fitr alle \( k \in \mathbb{N} . \) Die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) sei konvergent. Zeigen Sie, dass auch \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k}^{2} \) konvergiert mit
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k}^{2} \leq\left(\sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k}\right)^{2} \)

Ich komme auf keinen Ansatz und auch sonst hänge ich bei dieser Aufgabe fest.

Answer 1

Wenn \(\sum \limits_{k\in \mathbb{N}}a_k<\infty\), so ist notwendig \(a_k\xrightarrow{k\to \infty}0\). Es gibt also ein \(K\in \mathbb{N}\), so dass für alle \(k\geq N\) gilt: \(0\leq a_k\leq 1\). Für diese \(a_k\in[0,1]\) gilt dann aber auch \(a_k^2\leq a_k\). Insgesamt folgt:

$$\sum_{k\in \mathbb{N}}a_k^2=\sum_{k\in \mathbb{N}}a_ka_k\leq \sum_{k\in \mathbb{N}}1\cdot a_k=\sum_{k\in \mathbb{N}}a_k<\infty$$

\((a_1+a_2+\cdots +a_n)^2\geq a_1^2+a_2^2+\cdots + a_n^2\geq 0\).