Das eindeutig bestimmte Inverse Element in Gruppen

Question

Aufgabe:

Sei (G, ⊕) eine Gruppe. Für a ∈ G bezeichne −a ∈ G das (eindeutige) inverse Element zu a.
Zeigen Sie folgende Rechenregel für Elemente aus G:
−(a ⊕ b) = (−b) ⊕ (−a).

Problem/Ansatz:

Wir haben mit dem Thema "Gruppen" diese Woche angefangen. Leider fehlt mir hier auch nur irgendein Ansatz und ich weiß echt nicht weiter. Es gab auch noch eine andere Rechenregel, die gezeigt werden musste. Das habe ich auch hinbekommen. Nur die hier bereitet mir nun Schwierigkeiten. Vermutlich ist es sehr einfach und ich stehe auf dem Schlauch :/

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Answer 1

Aloha :)

Nach der Definition des inversen Elementes von $(a\oplus b)$ gilt:$$\left.(a\oplus b)\oplus(-(a\oplus b))=0\quad\right|\quad\text{Assoziativgesetz}$$$$\left.a\oplus (b\oplus(-(a\oplus b)))=0\quad\right|\quad(-a)\text{ von links verknüpft}$$$$\left.(-a)\oplus(a\oplus (b\oplus(-(a\oplus b))))=(-a)\oplus0\quad\right|\quad\text{Assoziativgesetz links}$$$$\left.((-a)\oplus a)\oplus (b\oplus(-(a\oplus b)))=(-a)\oplus0\quad\right|\quad\text(-a)\oplus a=0$$$$\left.0\oplus (b\oplus(-(a\oplus b)))=(-a)\oplus0\quad\right|\quad0\oplus x=x\;;\;x\oplus0=x$$$$\left.b\oplus(-(a\oplus b))=(-a)\quad\right|\quad(-b)\text{ von links verknüpft}$$$$\left.(-b)\oplus(b\oplus(-(a\oplus b)))=(-b)\oplus(-a)\quad\right|\quad\text{Assoziativgesetz links}$$$$\left.((-b)\oplus b)\oplus(-(a\oplus b))=(-b)\oplus(-a)\quad\right|\quad(-b)\oplus b=0$$$$\left.0\oplus(-(a\oplus b))=(-b)\oplus(-a)\quad\right|\quad0\oplus x=x$$$$\left.-(a\oplus b)=(-b)\oplus(-a)\quad\right.$$

Comments

Oh, vielen Dank!

Das ergibt auf jeden Fall Sinn :D

Ich verstehe nur noch nicht ganz woher du "(a ⊕ b) ⊕ (−(a ⊕ b)) = 0" aus der ersten Zeile hast. Wenn ich mich nicht verguckt habe, hatten wir das nicht in der Vorlesung und wir dürfen nur das verwenden, was wir schon hatten. Lässt sich das irgendwie herleiten?

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Für jedes Element $x$ der Gruppe gibt es nach den Gruppen-Axiomen ein inverses Element $(-x)$, sodass die Verknüpfung von beiden das neutrale Element $0$ ergibt:$$x\oplus(-x)=0$$Das ist eines der Gruppen-Axiome. Wir haben uns das Element $x$ aus den zwei Elementen $a$ und $b$ "zusammengebaut":$$x=(a\oplus b)$$Für dieses $x$ muss das Axiom vom neutralen Element natürlich auch gelten:$$\underbrace{(a\oplus b)}_{=x}\oplus\underbrace{(-(a\oplus b))}_{=(-x)}=0$$Das ist der Startpunkt unserer Umformungen von oben.

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Jup, alles klar, danke! Das ist echt hilfreich :)