Beweisen Sie die folgenden Teilbarkeitsregeln:

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die folgenden Teilbarkeitsregeln:

1. Aus a | b und b | c folgt a | c;

2. Aus b₁ | a₁und b₂ |a₂ folgt b₁·b₂ | a₁·a₂;

Answer 1

Aus a | b und b | c folgt a | c;

etwa so

Aus a | b und b | c folgt : Es gibt x,y aus ℤ mit

 b=x*a*x  und  c= y*b

==>   c= y*(x*a) = (y*x)*a

also gibt es ein z=y*x mit c=z*a also  a|c.

Comments

Kannst du für diese auch helfen?

Aus b | a₁und b | a₂ folgt b |(α·a₁+β·a₂),∀α,β∈Z.

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Entsprechend :

b | a1 ⇔∃h∈ℕ | b·h=a1  ==> α ·b·h= α ·a1
 
      b | a2 ⇔∃k∈ℕ | b·k=  a2   ==>  ß ·b·k= ß ·a2

zusammen also

α ·a1  + ß· a2 =  α ·b·h +  ß ·b·h =  ( α ·h +  ß·h )  ·b

also gibt es ein z=α ·h +  ß·h  mit

α ·a1  + ß· a2  =z*b   also b| (α ·a1  + ß· a2 )

Answer 2

Zu 1) a | b ⇔∃h∈ℕ | a·h=b (1)

         b | c ⇔∃k∈ℕ | b·k=c (2)

(1) in (2): a·h·k=c

h·k=j∈ℕ

a·j=c ⇔ a | c