Jeder unechte Bruch a enthält einen maximalen, ganzen Anteil b. Dann ist a-b ein echter Bruch und 1/(a-b) ein unechter Bruch. Den ganzzahligen Anteil von 1/(a-b) bezeichnen wir mit floor(1/(a-b)). Dem Zahlenpaar [a|b] wird auf diese Weise das Zahlenpaar [1/(a-b)| floor(1/(a-b))] zugeordnet. Ein Computer-Algebra-System (CAS) führt diese Zuordnung iterativ aus.
Beispiel: Für a= 70/51 wird dem Zahlenpaar [70/51|1] das Zahlenpaar [51/19|2] zugeordnet. Folglich gilt: 70/51=1+1/(51/19)=1+1/(2+Bruch). Dem Zahlenpaar [51/19|2] wird das Zahlenpaar [19/13|1] zugeordnet. Folglich gilt: 70/51=1+1/(2+13/19). Die mit CAS erzeugte Folge von Zahlenpaaren eignet sich offenbar zur Charakterisierung von Kettenbrüchen und zeigt insbesondere eine Folge der zweiten Komponenten. Im Falle 70/51 ist das [1, 2, 1, 2, 6] was üblicherweise den Kettenbruch von 70/51 beschreibt.
Das Grundmuster eines CAS-Programmes zu Verwandlung eines Buches x in einen Kettenbruch sieht dann so aus:
Beginne mit: [x,floor(x)]
Wiederhole: [a,b][1/(a-b),floor(1/(a-b))]
Ende wenn: 1/(a-b)=floor(1/(a-b)).
Das Programm funktioniert auch für irrationale Zahlen. Beispiel:
Beginne mit: [√2,1]
Wiederhole: [a,b]→[1/(a-b),floor(1/(a-b))]
Das Ende wird von vielen CAS selbständig dann erreicht, wenn sich das Zahlenpaar wiederholt. In diesem Falle liefert CAS:
[√2; 1], [√2+1; 2], [√2+1; 2]. Der Kettenbruch von √2 ist jetzt periodisch und wird durch [1, 2, 2, …] charakterisiert. In vielen Fällen muss allerdings das Ende der Rekursion vom Nutzer festgelegt werden, weil der Kettenbruch weder abbricht noch periodisch ist (z.B. im Falle ∛2).
Wenn man das Programm auf weitere Zahlen und deren Kettenbrüche anwendet, ergibt sich für die Eulersche Zahl e:
e=[2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1, …]. Dieser Kettenbruch hat zwar keine Periode, aber eine erkennbare Regelmäßigkeit. Dem Leser bleibt überlassen, das Programmschema an seine individuellen Erfordernisse anzupassen und damit zu experimentieren.
