Wieso ist der Maximum-Likelyhood-Schätzer falsch?

Question

könnt ihr mir vielleicht helfen, den Maximum Likelyhood-Schätzer der Verteilungsfunktion $$F_\lambda(x)=1-exp(\frac{x^2}{\lambda})$$ zu berechnen. ich habe zuerst die Funktion abgeleitet und dann logarithmiert, abgeleitet und nach Lambda umgestellt und komme auf:

$$\lambda_n=\sum \limits_{i=1}^{n}2\frac{x_i}{\lambda}$$

Aber in den Lösungen kommt folgendes heraus:

$$\lambda_n=\frac{1}{n}\sum \limits_{1=1}^{n}x^2_i$$

Bin ich evt falsch vorgegangen?:(

VG:)

Comments

Wie likely ist es, dass in ML der Buchstabe y vorkommt?

Answer 1

Aller Wahrscheinlichkeit steht da $$ F(x) = 1 - e^{ -\frac{ x^2 }{ \lambda } } $$ Daraus folgt

$$ f(x) = \frac{ 2 x e^{ -\frac{ x^2 }{ \lambda } } } { \lambda } $$ und daraus

$$ L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{ 2 x_i e^{ -\frac{ x_i^2 }{ \lambda } } } { \lambda }  $$ und daraus

$$L(\lambda) = \sum_{i=1}^n \bigg[  \ln(2 x_i) - \ln(\lambda) - \frac{x_i^2}{\lambda}  \bigg] $$

Also $$  l(\lambda) = \sum_{i=1}^n \bigg[ -\frac{1}{\lambda} + \frac{x_i^2}{\lambda^2} \bigg] = 0 $$

Jetzt nach \( \lambda \) auflösen.

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Vielen Dank für deine Mühe:)