Bestimme den Abschluss M-strich der folgenden Mengen (als Teilmengen von R):

Question

Aufgabe:

Bestimme den Abschluss M-strich der folgenden Mengen (als Teilmengen von R):

1. M = {1/n, n∈N}
2. M = {x∈R, x²>1}

3. M = {p/q; p,q ∈N)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ein Berührungspunkt ein Punkt ist, in dessen Umgebung Werte der Menge liegen, aber ich verstehe nicht ganz, inwieweit diese Umgebung definiert ist oder wie groß sie werden kann.

Bei 1. hätte ich zB gesagt, dass der Abschluss bzw. die Menge der Berührungspunkte alle natürlichen Zahlen ist, aber gehört 0 dazu, weil diese Reihe dorthin konvergiert? Und bei 2. hätte ich den Abschluss als (1, unendlich) definiert, stimmt das?

Answer 1

Der topologische Abschluss ist gegeben durch die Vereingung des Inneren und dem Rand. $$\overline{M_1}=\overline{\left \{\frac{1}{n}\, : \, n\in \mathbb{N}\right \}}=\left \{\frac{1}{n}\, : \, n\in \mathbb{N}\right \}\cup \{0\}$$$$\overline{M_2}=\overline{\left \{x\in \mathbb{R}\, : \, x^2>1\right \}}=\left \{x\in \mathbb{R}\, : \, x^2\geq 1\right \}$$$$\overline{M_3}=\overline{\left \{\frac{p}{q}\, : \, p,q \in \mathbb{N}\right \}}=\left \{\frac{p}{q}\, : \, p,q \in \mathbb{N}\right \}\cup \{0\}\cup \{\infty\}$$

Comments

Bezeichnet das Innere sämtliche Punkte in einem Intervall und Rand die Werte, gegen die es eigentlich/uneigentlich konvergieren kann?
Vielen Dank schonmal!

---

Ich denke, dass du das richtige meinst, aber so salopp kann man das nicht formulieren. Das Innere wird für beliebige Mengen, nicht nur Intervalle definiert.

---

Innere = Werte der gegebenen Menge

Rand = Grenzen einer Menge, die aber nicht mehr enthalten sind

Abschluss = Innere und Rand vereint

Ist diese Formulierung genauer / habe ich es richtig verstanden?