Beweisen Sie: (G, ?) ist eine Gruppe....

Question

Aufgabe:

a) Sei (G, ◊) eine endliche Gruppe. Zeigen Sie: Ist die Gruppenordnung |G| ungerade,so ist - außer dem neutralen Element e - kein Gruppenelement selbstinvers.

b) Beweisen Sie: Gilt in einer Gruppe (G,◊) mit neutralem Element e für jedes Element a ◊ a=e, so ist die Gruppe kommutativ.

c) Sei (G,◊) eine kommutative Gruppe mit G= {e,a₂,...,a_n}und neutralem Element e.

    Zeigen Sie:a₂² ◊ a₃² ◊ ... ◊ a_n² = e.

Answer 1

a) Sei (G, ◊) eine endliche Gruppe. Zeigen Sie: Ist die Gruppenordnung |G| ungerade,so ist - außer dem neutralen Element e - kein Gruppenelement selbstinvers.

Angenommen es sei x∈G und x≠e und x ist selbstinvers, dann

ist  ( {e,x}  ◊) eine Untergruppe von (G, ◊) .  [ Denn   ( {e,x}  ◊)  ist abgeschlossen,

enthält das neutrale El und zu jedem El. das Inverse]

Da die Ordnung einer Untergruppe immer ein Teiler der

Gruppenordnung ist, muss diese gerade sein. Widerspruch !

b) Beweisen Sie: Gilt in einer Gruppe (G,◊) mit neutralem

Element e für jedes Element a ◊ a=e, so ist die Gruppe kommutativ.

Seien x,y ∈G . ==>   ( x◊y ) ◊ ( x◊y ) = e  wegen assoziativ
                                                              (wird im Folgenden dauernd benutzt)

                        ==>   x◊  ( y ◊ ( x◊y ) ) = e Mult. von links mit x

                     ==>    (x◊x) ◊  ( y ◊ ( x◊y ) ) =   x◊e

                          ==>    e ◊  ( y ◊ ( x◊y ) ) =  x

                        ==>        y ◊ ( x◊y ) =  x   Mult. von links mit y

                      ==>     y ◊ y ◊ ( x◊y ) =    y ◊ x

                          ==>    e ◊ ( x◊y ) =    y ◊ x

                           ==>         x◊y =    y ◊ x   q.e.d.

Comments

Danke, das ist ja doch leichter als erwartet.

Habe ich verstanden.

Einen Lösungsansatz bei der Aufgabe c)?