Aufgabe: In Deutschland geht man heute davon aus, dass a% > 0% der Bevölkerung mit COVID-19 infiziert ist. Zur
Diagnose werden Tests eingesetzt. Ein aktueller Test zeigt die Erkrankung bei einer mit COVID-19 infizierten
Person in b% > 0% aller Fälle korrekt an. Bei c% > 0% der nicht-infizierten Personen wird über einen
einmaligen Test fälschlicherweise eine Erkrankung diagnostiziert. Falls das Testergebnis positiv ist, wird das
Ergebnis innerhalb von drei Tagen in d% > 0% der Fälle der betroffenen Person zugestellt. Bei einem negativen
Testergebnis erfolgt die Zustellung des Ergebnisses zur betroffenen Person in e% > 0% der Fälle innerhalb
von drei Tagen. Des Weiteren gilt, dass die Zustellung des Testergebnisses innerhalb von drei Tagen und das
Vorliegen einer COVID-19 Infektion bei gegebenem positiven Test bedingt unabhängig sind.
Zur Bearbeitung der Teilaufgaben verwenden Sie die im Folgenden definierten Ereignisse.
• K: Person ist an COVID-19 erkrankt.
• T: Testergebnis ist positiv.
• Z: Testerbegnis wird innerhalb von drei Tagen zugestellt.
Hinweis: Zwei Ereignisse A und B sind bedingt unabhängig, gegeben Ereignis C, genau dann, wenn
P(A | B ∩ C) = P(A | C) und P(B | A ∩ C) = P(B | C) gilt.
a) Überführen Sie die empirischen Prozentdaten a, b, c, d, e aus der Aufgabenstellung in Wahrscheinlichkeiten
auf Basis der Ereignisse K, T, und Z.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis einer zufällig aus der Bevölkerung getesteten
Person positiv ist? Geben Sie das Ergebnis in Form eines Bruchs an.
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis einer zufällig aus der Bevölkerung getesteten
Person innerhalb von drei Tagen zugestellt wird?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Testperson an COVID-19 erkrankt ist und ihr positiver Test innerhalb von drei Tagen zugestellt wurde? Erläutern Sie alle vorgenommenen Vereinfachungen.
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Testperson an COVID-19 erkrankt ist, wenn ihr
positiver Test innerhalb von drei Tagen zugestellt wurde? Geben Sie das Ergebnis in Form eines Bruchs
an.
f) Zeigen Sie, dass P(K ∩ Z | T) = P(K | T) · P(Z | T) gilt. Erläutern Sie alle vorgenommenen
Vereinfachungen.
