Zeigen Sie, dass es nur genau eine Abbildung · : G × G → G mit neutralem Element e

Question

Aufgabe:

Aufgabe  . Sei G = {e, a, b} eine Menge mit drei Elementen. Zeigen Sie, dass es nur genau eine Abbildung · : G × G → G
gibt, so dass (G, ·) eine Gruppe mit neutralem Element e ist. Ist G
abelsch? Begründen Sie! (Hinweis: Schreiben Sie die möglichen Multiplikationstabellen auf

Problem/Ansatz:

hallo ihr lieben könnt einer mir bitte bei dieser Aufgabe helfen

mg

Dilara

Answer 1

Hi. Betrachtet diese Multiplikationstabelle

$$\begin{array}{c||c|c|c} \cdot & e & a & b \\\hline\hline e & e & a & b \\\hline a & a & b & e \\\hline b & b & e & a \\ \end{array}$$

Davon sind folgende Zuweisungen:

$a\cdot a = b$
$a\cdot b = e$
$b\cdot a = e$
$b\cdot b = a$

Dabei ist $e$ das neutrale Element, $a$ das inverse Element von $b$, und $b$ das inverse Element von $a$.

Mit dieser Abbildung (Tabelle) ist die Gruppe $(G,\cdot)$ sogar abelsch (kommutativ).

Ich hoffe, es hilft.

MfG