Zeigen Sie, dass f im ganzen Intervall [1; 2] defniert ist.

Question

Gegeben sei die Funktion f (x) = ln(x³− 1/3x² − 2x + 2).

a) Zeigen Sie, dass f im ganzen Intervall [1; 2] defniert ist.
Hinweis: Berücksichtigen Sie die Monotonie des Polynoms im Intervall.

b) Zeigen Sie, dass f im Intervall [1; 2] genau eine Nullstelle hat.

c) Geben Sie ein Näherungsverfahren an, mit dem die Nullstelle von f im Intervall [1;2] berechnet werden kann. Wählen Sie als Startpunkt x₀ = 2 und berechnen Sie mit Ihrem Näherungsverfahren den Wert x₁.

Answer 1

g = x^3− 1/3x^2 − 2x + 2
von 1
g(1) = 1 - 1/3 - 2 + 2 = 2/3
Ableitung
g ´= 3x - 2/3x - 2
wachsend
3x - 2/3x - 2 > 0
2  1/3 x > 2
7 / 3 x > 2
x > 6 / 7

Der Anfangswert ist positiv die Montonie
im Intervall ist positiv.
Also ist der Wert von g stets positiv und ≥ 2/3.

g ( 2 ) = 8 - 1/3*4 + 8 + 2 = 50/3

Der Wert von g liegt zwischen 2/3 und 50/3
Muß also auch irgendwann bei 1 liegen
und ln(1) = 0.

c.) x = 1.2843
Newton Näherung