Abbildung P(x)T := (0, 0, x2, x3, x4)T im R5

Question

Aufgabe:

Sei V = ℝ⁵ und P: V → V sei definiert durch P(x)^T := (0, 0, x₂, x₃, x₄)^T für x^T = (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅)^T ∈ V

i) Zeigen Sie, dass P eine lineare Abbildung ist, und dass gilt: P(P(x)) = (0, 0, 0, x₂, x₃)^T für alle x ∈ ℝ⁵.

ii) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von Ü bezüglich der Standardbasis S = (e₁, ..., e₅) von V.

iii) Bestimmen Sie kerP und imP und weisen Sie damit nach, dass P nicht injektiv und nicht surjektiv ist.

Wäre nett, wenn mir jemand helfen würde.

Answer 1

i) zeigen "linear" indem du nachrechnest, dass für

alle x,y∈ℝ^5 und a,b ∈ℝ gilt  P(ax+by)=a*P(x)+b*P(y) .

Könnte so beginnen :

Seien x,y∈ℝ^5 und a,b ∈ℝ mit x = (x1, x2, x3, x4, x5)^T und y=...

Dann gilt P(ax+by)  [ Def von ax+by gibt ]

        = P ( ax1+by1, ax2+by2,...,ax5+by5)^T )

       Def. von P

  =  ( 0 , 0 , ax2+by2, ax3+bx3, ax4+bx4)^T

          Def von + in R^5

   =  ( 0 , 0 , ax2, ax3, ax4)^T+ =  ( 0 , 0 , by2, bx3, bx5)^T

Dann Def der S-Multiplikation etc.

Das P(P(x))  auch entsprechend nachrechnen

P(P(x)) = P(  ( 0, 0, x2, x3, x4)T ) =   (0, 0, 0, x2, x3)T

Matrix:  Bilder der Basisvektoren bestimmen und

bedenke: Die Bilder der Basisvektoren sind die Spalten der

ges. Matrix:

P( e1)) = P ( (1,0,0,0,0)^T ) = (0,0,0,0,0)

also 1. Spalte:

0
0
0
0
0

entsprechend für die anderen gibt

0   0    0     0      0
0   0     0    0      0
0   1    0     0      0
0    0    1    0      0
0    0    0    1      0

Daran sieht man schon Ker(P)= <e1,e5> Bild(P)=<e3,e4,e5>

nicht injektiv z.B.  da P(e1)=P(e5) obwohl e1≠ e5

nicht surjektiv z.B. da es kein x gibt mit P(x)=e1.