Hallo, deine Aussage ist falsch. Du hast die Aussage:
,,Alle Diagonaleinträge einer Matrix \(A\in \mathbb{R}^{3,3}\) sind positiv \(\Rightarrow \) \(A\) ist positiv definit."
Nun betrachten wir mal diese Matrix:
\(A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\-1&0&1 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{3,3}\).
Jetzt suche ich einen Vektor \(x:=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\neq 0\), sodass dennoch \(x^T\cdot A\cdot x=0\) folgt. Man hat
\(x^T\cdot A\cdot x=(x_1,x_2,x_3)\cdot \begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\-1&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\\=(x_1,x_2,x_3)\cdot \begin{pmatrix}x_1-x_3\\x_2\\-x_1+x_3\end{pmatrix}\).
Dieser Ausdruck ist offenbar für alle \(x=\begin{pmatrix}\alpha\\0\\\alpha\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3\) mit \(\alpha\neq 0\) dennoch gleich \(0\).
In der Tat gilt aber die Umkehrung deiner Aussage:
,,\(A\in \mathbb{R}^{n,n}, n\in \mathbb{N}\) ist positiv definit. \(\Rightarrow \) Alle Diagonaleinträge von \(A\) sind positiv."
