Sind die Minimalstellen des mehrdim. Taylorpolynoms gleich den Minimalstellen der Funktion?

Question

Aufgabe: Lokale Extrema des Taylorpolynoms mehrdimensional

Problem/Ansatz: Zeigen Sie, dass wenn ein Taylorpolynom 2. Grades einer Funktion von ℝ^3->ℝ, zweimal differenzierbar und x0 ∈ ℝ^3 eine lokale Minimalstelle des Taylorpolynoms ist auch die zu approximierende Funktion f an dieser Stelle ein lokales Minimum hat oder geben Sie ein Gegenbeispiel.

Ich denke, dass das wahr ist, da ja  das Taylorpolynom in einer Stelle x0 annähernd die zu approximierende Funktion beschreibt also T2(x0) ≈ f(x0). Habt ihr vielleicht ein paar Hilfestellungen?

Answer 1

Hallo

Das Minimum des zweiten TP muss ja nicht nahe an der Stelle x0 liegen.

Die Antwort ist nein. Ein sehr einfaches Fgegenbeispiel ist einfach das zweite TP x^2-2x+1 was u.a. das TP zu f(x)= x^3+x^2-2x+1 ist.  Minimum des  2. TP  ist bei x=2, das von f(x) bei etwa x=0,55, trotzdem nähert das TP von etwa -0,3 bis +0,3 f(x) passabel an.

Gruß lul

Comments

erstmal danke für die Antwort. Dein Beispiel passt leider nicht. Es geht ja um eine Funktion von ℝ^3->ℝ. Kann man da dieselbe Aussage treffen?

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Hallo,

ich bin mir nicht sicher, ob die Frage vollständig korrekt formuliert ist. Ich vermute: Äquivalent sind

(1) f hat an der Stelle x_0 ein Minimum.

(2) Das Taylorpolynom der Ordnung 2 mit Entwicklungspunkt x_0 hat bei x_0 ein Minimum.

Außerdem frage ich mich, ob nicht f als zweimal stetig differenzierbar vorausgesetzt ist.

Gruß

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Hallo

mathepeter hat recht, wenn x0 der Entwicklungspunkt ist, dann stimmen ja die Ableitungen des TP und der Funktion überein, also ist das Minimum des TP in x0 auch eines der Funktion, und das unabhängig davon ovb von R->R oder R^n->R.

also kommt es auf die exakte Formulierung der Aufgabe an.

ist x0 der Entwicklungspunkt?

lul

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Und ich frage mich auch, ob das Gegenbeispiel (jetzt 1-dimensional

$$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x):=x^3$$

- Entwicklung um den Nullpunkt - vom Aufgabensteller ausgeschlossen werden sollte.

Gruß