Finden Sie den Wert der Reihe

Question

Aufgabe:

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{2+(-1)^{k+1}}{2^{k}} \)

Finden Sie den Wert der Reihe

Problem/Ansatz:

Könnte mir bitte jemand erklären oder Hinweis geben wie ich das lösen kann?

Comments

Da versteckt sich doch eine geometrische Reihe drinnen, siehst du sie?

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Also eigentlich hab ich das gemerkt, aber bin nicht sicher ob ich richtig liege

Hier:

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}+\sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{k+1} \)
\( S_{n_{1}}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2 \)
\( S_{n_{2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3} \)

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Da bist du doch schon weit gekommen, es handelt sich nur um einen Fehler beim Umstellen. Bitte nächstes Mal sofort eigene Ansätze in die Frage, dann wissen wir, was dein Problem ist, können dir individueller und mit besserem Gewissen helfen.

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Wenn du dir unsicher bist, rechne doch einige Werte zusammen, bzw. lass sie rechnen.

Nach 5 Schritten bist du bei 3,3

https://www.mathe-online.at/galerie/grenz/reihennumerisch.html

Answer 1

Hallo,

du hast das wichtigste schon einmal erkannt: die geometrischen Reihen. Nun los:$$\frac{2+(-1)^{k+1}}{2^k}=\frac{2}{2^k}+\frac{(-1)^{k+1}}{2^k}=2\left(\frac{1}{2}\right)^k-\left(-\frac{1}{2}\right)^k$$ Dann gilt:$$2\sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k-\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^k=2\cdot 2-\frac{2}{3}=\boxed{\frac{10}{3}}$$ Das bestätigt auch WolframAlpha.

Comments

Vielen Dank! Ich hab's verstanden :)

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Hervorragend.