Was gilt bei jeder dieser Summen bezüglich der Zahl 24?

Question

Ein Vielfaches von 24 vermindert um 1 wird in genau zwei Faktoren zerlegt. Die Faktoren werden addiert. Was gilt bei jeder dieser Summen bezüglich der Zahl 24?

Comments

Ein Vielfaches von 24 vermindert um 1 wird in Faktoren zerlegt.

In genau zwei Faktoren oder mehrere Faktoren?

Answer 1

Die Summe ist wieder ein Vielfaches von 24.n*24-1≡-1mod 24

Wenn es zwei Faktoren a,b gibt, mit

a*b=n*24-1≡-1mod24, dann ist entweder a≡1mod24 und b≡-1mod24 oder umgekehrt.

Auf jeden Fall ist a+b≡0 mod24

Nachsatz für die Skeptiker.

2; 3; und damit auch 4; 6; 8;9 und 12 sind keine Teiler von 24n-1 diese Banalität ist scheinbar nicht für alle gleich sichtbar.

Jetzt kommen die Kandidaten

1*(-1)≡5*(-5)≡7*(-7)≡11*(-11)≡-1 mod 24

1-1≡5-5≡7-7≡11-11≡0 mod 24

Das sind die Kandidaten, die folgenden sind es offensichtlich nicht.

1*5≡5 ; 1*7≡7 ; 1*11≡11 ; 5*7≡11 ; 5*11≡7 ; 7*11≡5 mod 24

Auch das Vorzeichen ändert nichts.

-1*5≡-5 ; -1*7≡-7 ; -1*11≡-11 ; -5*7≡-11 ; -5*11≡-7 ; -7*11≡-5 mod 24

oder

1*-5≡-5 ; 1*-7≡-7 ; 1*-11≡-11 ; 5*-7≡-11 ; 5*-11≡-7 ; 7*-11≡-5 mod 24

Und schließlich auch nicht

-1*-5≡5 ; -1*-7≡7 ; -1*-11≡11 ; -5*-7≡11 ; -5*-11≡7 ; -7*-11≡5 mod 24

Falls jetzt immer noch Fragen offen sind, meldet euch.

Bitte aber nicht mit Kommentaren, wie:

"genaue mathematische Begründung "

Denn dies ist die mathematische Begründung. Wenn es immer noch unverständlich ist, dann formuliert bitte auch, was unverständlich ist.

Comments

genaue mathematische Begründung?

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507 * 24 - 1 = 12167 = 23 * 23 * 23

23 + 23 + 23 = 69

Wo mache ich einen Fehler?

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Wie der geneigte Leser leicht erkennen kann. gast 2016 , Du bist mir scheinbar nicht geneigt.

Wieso erwartet Du von mir eine genaue mathematische Erklärung?

Weil es bald Weihnachten ist, habe ich geraten und auf Geschenke gehofft.

Die Chance stand gut, da es viele Primzahlen der Form 24n-1 gibt.

Dann ist zwar 24*(10n+4)-1 keine Primzahl, dafür kann ich sie durch 5 teilen und dann passt es auch.

Die Aussicht, dass auch ein blindes Huhn wie ich mal einen Korn trinken kann, war also sehr hoch.

Prost.

@Mathecoach, du machst selten Fehler, auch heute nicht, doch vielleicht ist das der Fehler, vielleicht wollte Roland zu Weihnachten mal Geschenke verteilen.

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Habe meine Aufgabe nochmal präzisiert.

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Mich würde der saubere math. Beweis interessieren.

Die Summe ist wieder ein Vielfaches von 24.

Das ist nur eine Behauptung.

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Hier ein Beweis

k*24 - 1 kann man auf jeden Fall in die Faktoren k*24 - 1 und 1 zerlegen und damit gilt

k*24 - 1 + 1 = k*24

und das ist wieder durch 24 teilbar.

Da die Aufgabenstellung die 2 Faktoren nicht näher beschreibt geht das immer.

Die Aufgabensellung sollte also nochmals präzisiert werden möchte man die Faktorzerlegung wenn möglich in Faktoren ungleich 1 erzwingen.

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23 * 23 * 23

Bei genau zwei Faktoren wäre 23*23 der eine und 23 der andere Faktor.

Die Summe ist dann 24*23.

:-)

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gast 2016

Die Summe ist wieder ein Vielfaches von 24 !

Das ist eine von mir begründete Aussage!

Wenn du der Meinung bist,  dass sie falsch ist, dann reicht ein Gegenbeispiel.

Ich lasse mich gerne vom Gegenteil überzeugen. Viel Spaß beim Suchen.

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Die Frage ist doch, wie beweist man die Aussage, wenn 24*n-1 keine Primzahl ist.

Gilt es für beliebige Paare von Faktoren?

Beispiele:

24*4-1=95=1*95=5*19

1+95=4*24

5+19=1*24

oder

24*5-1=119=7*17

7+17=24

oder auch

24*6-1=143=11*13 ...

:-)

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Halten wir mal fest:

Es hat eine Weile gedauert (Roland hat meinen Kommentar ignoriert dann endlich nach dem Gegenbeispiel vom Coach reagiert), bis die halbseidene Frage konkretisiert wurde.

@Hogar

So sehr ich dein bisheriges Wirken hier geschätzt habe:

Warum sonderst du dann so einen Bullshit ab?

Das ist eine von mir begründete Aussage!

In deinem fortgeschrittenen Alter (oder, um es positiver zu formulieren, mit deinem mittlerweile erworbenen reichhaltigen Erfahrungsschatz) solltest du doch wissen, dass das Anführen einiger erfolgreich durchgerechneter Beispiele NICHT ausreicht, die Gültigkeit einer Allaussage zu beweisen.

Wenn dich jemand (wie Gast2016) darauf hinweist und du das dahingehend interpretierst, dass er dir

scheinbar nicht geneigt

ist, dann muss ich dir zu meinem Bedauern mitteilen, dass ich dir (nach obiger Interpretation) auch nicht geneigt sein kann.

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n*24-1≡-1mod 24

Wenn es zwei Faktoren a,b gibt, mit

a*b=n*24-1≡-1mod24, dann ist entweder a≡1mod24 und b≡-1mod24 oder umgekehrt.

Auf jeden Fall ist a+b≡0 mod24

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Wenn es zwei Faktoren a,b gibt, mit a*b=n*24-1≡-1mod24, dann ist entweder a≡1mod24 und b≡-1mod24 oder umgekehrt.

Was bewiesen wäre, wenn du die möglichen Restepaare (1,5), (1, 11), (1,17), (1,23), (7,5), (7,11) usw...durchexerziert hättest.

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es geht tatsächlich auch z.B.

a Ξ 7 mod 24
b Ξ 17 mod 24

Aber dann ist die Summe aus a und b selber sicher durch 24 teilbar.

Aber mit einer kleinen Modulo-Tabelle kann man das leicht beweisen.

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@abakus

Du hattest ja Recht, das war scheinbar etwas persönliches  doch jetzt wirst du albern.
Das 1* 7≡7≠-1mod24, das muss ich wirklich nicht zeigen. Zeigen muss ich es nur, wenn das Produkt >24 ist. Und dann auch nur für die folgenden.
3*9≡3
4*9≡12
5*9≡-3
6*9≡6
7*9≡-9
8*9≡0
9*9≡9
3*8≡0 
4*8≡8
5*8≡-8
6*8≡0
4*7≡4
5*7≡11
6*7≡-6
7*7≡1    
s.o.
4*6≡0
5*6≡6
6*6≡12
5*5≡1
Nur bei 1*(-1)≡-1

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Da habe ich noch einige übersehen

3*10≡6

4*10≡-8

5*10≡+2

Immer gerade

3*11≡9

5*11≡7

7*11≡5

9*11≡3

11*11≡1

X*12 immer gerade

Es kommen also nur 1*(-1), 5*(-5), 7*(-7)und 11*(-11)in Frage, doch immer ist die Summe durch 24 teilbar.

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Dass ich die ganze Tabelle erstellt habe, war  total unnnötig, denn es war ja klar, dass nur 5 ; 7 und 11 untersucht werden mussten, da ich zur 5 schon eine Aussage getroffen hatte, fehlt ja nur 7*7; 7*11 und 11*11,  denn 2; 3  und damit auch 4; 6; 8; 9; 10; und 12 konnten ja keine Teiler von 24n-1 sein.

Keine Ahnung, was mich da geritten hatte.

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@abakus

"Was bewiesen wäre, wenn du die möglichen Restepaare (1,5), (1, 11), (1,17), (1,23), (7,5), (7,11) usw...durchexerziert hättest."

Deinem Wunsch bin ich, wenn auch widerstrebend, gefolgt.

Nachdem ich das gemacht habe, wird es vielleicht verständlich, warum ich mich erst geweigert habe, es zu tun.

Denn weder ±5 noch ±7 oder ±11 sind äquivalent zu -1 mod 24.

Es gibt schlicht keine andere Möglichkeit, als  dass die Aussage richtig ist.

Meine Aussage, das gast 2016 mir scheinbar nicht geneigt ist, steht einerseits im Zusammenhang mit seinen Kommentaren an anderer Stelle. Andererseits war es früher verbreitet, den geneigten Leser anzusprechen, wenn es darum ging, sie zu kleinen leicht zu gehenden Schritten zu ermuntern. Häufig wird mir vorgeworfen, dass ich zu viel helfe. Nun war es wohl mal andersrum

Jetzt sollte ich auch noch zeigen, dass 1*7=7≠-1

Answer 2

24n - 1 = ( \( \sqrt[2]{24n} \) +1)• ( \( \sqrt[2]{24n} \) -1)

\( \sqrt[2]{24n} \) +1+  \( \sqrt[2]{24n} \) -1 =   2   •   \( \sqrt[2]{24n} \)

n=  1 →  2  •  \( \sqrt[2]{24} \)

n =  2  →     2  •  \( \sqrt[2]{24•2} \) 

n =   3    →      2  •  \( \sqrt[2]{24•3} \)

n =  4   →    2  •  \( \sqrt[2]{24•4} \)

mfG

Moliets

Comments

.........................................Was will der Dichter uns damit sagen?????

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Es wäre richtig geworden, da \( \sqrt[2]{24n} \)•\( \sqrt[2]{24n} \) =24n ist

Daraus folgt, 24n+1-1=24n und das ist 24n und 24n ist immer durch 24 teilbar.

Shit happens!

mfG

Moliets

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Das ist zwar richtig hat aber mit der Faktorzerlegung 24n - 1 in genau 2 natürliche Zahlen nichts zu tun.