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Seien φ,ψ: V → V lineare Abbildungen.

Zeigen Sie die folgenden Aussagen und geben Sie jeweils ein Gegenbeispiel für die umgekehrte Teilmengeninklusion an.


(a) Bild(φ + ψ) ⊆ Bild(φ) + Bild(ψ)

(b) Kern(φ) ∩ Kern(ψ) ⊆ Kern(φ + ψ).

(c) Kern(ψ) ⊆ Kern(φ ◦ ψ).

(d) Bild(φ ◦ ψ) ⊆ Bild(φ).

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1 Antwort

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Für b) etwa so:

Sei x ∈  Kern(φ) ∩ Kern(ψ)

==>  φ(x)=0    und  ψ(x)   = 0

==>     φ(x) + ψ(x)  = 0

==>   (φ + ψ)  (x)  = 0

==>   x ∈   Kern(φ + ψ).

Gegenbeispiel ( Es hängt ja daran,

dass i.allg. aus φ(x) + ψ(x)  = 0 nicht

φ(x)=0    und ψ(x)  = 0   folgt, also etwa:

φ(x)=x       und ψ(x)  = -x  für

alle x ∈ V .

Dann ist Kern(φ) = {0}  und  Kern(ψ) = {0}

Aber   Kern(φ + ψ) = V . Also etwa für V= R^2

   Kern(φ + ψ) = R^2  ⊄  {0}  = Kern(φ) ∩ Kern(ψ) .

Mach doch mal Vorschläge für die anderen Teile.

Avatar von 289 k 🚀

Danke ich werde mich später dransetzen und die hier posten :) dann kann man drüber gehen

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