Relevanz der beiden Teile des Beweises des Hauptsatzes der Integralrechnung

Question

Liebe Lounge,

ich habe eine Frage zu den zwei Bestandteilen des Hauptsatzes der Integralrechnung.

\( \int\limits_{a}^{b}  f(x) dx = F(b)-F(a)\)

1. Wenn man zeigt, dass die Integralfunktion \( \int\limits_{a}^{x} f(t) dt\) eine Stammfunktion ist, dann kann man sich die Integralfunktion vorstellen als die Flächenfunktion (orientierte Fläche) zur unteren Grenze a. Korrekt?

2. Der zweite Teil des Beweises (in dem durch Einsetzen gezeigt wird, dass man das bestimmte Integral mithilfe jeder beliebigen Stammfunktion ausrechnen kann, ist sozusagen ein Bonus - oder?

Sprich damit spart man sich Arbeit, nicht immer diejenige Stammfunktion zu finden, die auch tatsächlich die Integralfunktion ist (mit der es ja auch geht)? Sprich man spart den Schritt, C auszurechnen, sodass F(a)=0 ?

Dankeschön,

schöne Feiertage,

euer Kombi!

Answer 1

Das Integral $$ F(x) = \int_a^x f(t) dt $$ ist die Fläche unterhalb der Kurve \( f(t) \) in den Grenzen \( [a,x] \). Sollte der Graph unterhalb der x-Achse liegen, gibt es einen negativen Wert für die Fläche.

Wenn \( F(x) \) eine Stammfunktion ist, dann ist auch \( G(x) = F(x) +C \) eine Stammfunktion. Und das bestimmte Integral \( \int_a^b f(t) dt \) ist gleich $$ \int_a^b f(t) dt = G(b) - G(a) = F(b)+C - F(a)-C = F(b)-F(a) $$

Comments

Ja. Also stimmt das, was ich sage ?

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Aber müsste nicht eigentlich bei dir am Ende stehen: G(b)-G(a)?

Weil bei dir am Ende steht, dass man die Differenz der Integralfunktion bildet. Man will aber ja eine beliebige Stammfunktion nehmen konnen...

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Die Integrationskonstante kürzt sich ja bei der Differenzbildung der Stammfunktionen wieder raus.

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Ok. Und man liest, dass man sich nur kompakte Intervalle anschaut.

Wieso? Kann man nicht auch ein Integral im Intervall [a,b) berechnen?