Grenzwerte, Limes und Wurzel

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

b) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{1-x}{1-\sqrt{x}} \)
c) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x+2}-\sqrt{x} \)

Problem/Ansatz:

Bei der Aufgabe b), wenn man da die 1 einsetzt bekommt man im Zähler sowie im Nenner die 0 raus oder? wie macht man dann weiter und kann mir jemand bei c) kurz ein Ansatz geben

Comments

Zu b) verwende im Zähler die dritte binomische Formel

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also im Zähler um (1+x) erweitern und dann?

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@Furkan: Es ist $$x=\left(\sqrt{x}\right)^2$$

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Alles klar, wie mache ich es bei c)

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Alles klar, wie mache ich es bei c)

Erweitere mit \( \left(\sqrt{x+2}+\sqrt{x}\right) \).

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Zu b) verwende im Zähler die dritte binomische Formel

Ich würde eher sagen im Nenner. :)
Dann kürzt sich 1-x weg.
Es bleibt x+√x = 1+1 = 2 -->lim =2

Answer 1

lim x - > 1 [ ( 1-x ) / ( 1 - √ x ) ] = 0 / 0
Ein Fall fürs Krankenhaus
( 1-x ) ´ / ( 1 - √ x ) ´
-1 /  ( - 1 / ( 2 * √ x ) )
lim x - > 1 [ -1 /  ( - 1 / ( 2 * √ 1 ) ) ] = 2

Comments

Ist mir gerade nicht so schlüssig

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Bei null durch null kannst du
l´Hospital anwenden
1.Ablietung vom Zähler und 1.Ableitung
vom Nenner bilden
Wiederum x = 1 einsetzen
dann kommt 2 heraus.

Ich gehe jetzt aber zu Bett,

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ah, alles klar jetzt verstehe ich es. Vielen dank.

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a * b / a = b
lim x -> 1 [ 1 + √ 1 ] = 1 + 1 = 2

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Ich habe eine Frage, wenn man die 1. Abl von 1- Wurzel x bildet entfällt doch die -1 oder nicht??

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Hier mein Matheprogramm für l´Hospital

Bei Bedarf nachfragen

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Am ende müsste aber + 1 stehen
oder nicht?

Ich weiß zwar nicht ob du das meinst
2 * √ x
x = 1
2 * √ 1
2 * 1
2

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Ich hab Aufgabe b) Komplett verstanden bei der Aufgabe C) habe ich x+2-x herausgefunden, ich habe es mit der 3. Binomische Formel erweitert und bin zu diesem Ergebnis gekommen sieht aber nicht wirklich richtig aus irgendwelche Ideen?

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f = √ ( x + 2 ) - √ ( x )
Steht auch schon in den Antworten
erweitern
f = [ √ ( x + 2 ) - √ ( x ) ] * [ √ ( x + 2 ) + √ ( x ) ]
    ----------------------------------------------------
               √ ( x + 2 )  + √ ( x )

f =          x + 2 - x
      ----------------------
      √ ( x + 2 )  + √ ( x )

f =            2
    ----------------------
    √ ( x + 2 )  + √ ( x )

lim x -> ∞ [ 2 / ( ∞ ) ] = 0

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geht alles im Zähler gegen Unendlich?

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Der Zähler geht gegen 2.
Der Nenner geht gegen ∞

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Dann war der Ansatz davor den ich im Kopf hatte doch richtig Danke Ihnen

Answer 2

Bei b) lässt sich der Zähler nach der dritten binomische Formel faktorisieren, so dass der problemverursachende Nenner anschließend weggekürzt werden kann: $$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-x}{1-\sqrt{x}} = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left(1-\sqrt{x}\right)\cdot\left(1+\sqrt{x}\right)}{1-\sqrt{x}} = \lim\limits_{x \to 1} \left(1+\sqrt{x}\right) = 2$$

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Wenn ich den Zähler nach der 3. Binomische Formel erweitere bekomme ich doch 1^2-x oder nicht? und im Nenner haben wir dann 1 - Wurzel x wie kürzt man dann?

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Ich habe den Zähler gemäß a^2-b^2=(a-b)*(a+b) faktorisiert. Ich habe nicht erweitert.

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Tut mir leid, meine natürlich faktorisiert, kommt bei Ihnen im Zähler 1-x raus? wenn ja wie mache ich dann weiter

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Nein, da kommt nicht \(1-x\) raus, sondern das ist der Startterm. Er wird zu $$ 1-x = \left(1-\sqrt{x}\right) \cdot \left(1+\sqrt{x}\right) $$ faktorisiert.

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wie kommt man dann von diesem Ausdruck zu 1+ Wurzel x = 2 komme mit Wurzeln gar nicht Klar.

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Ah, warte ich habs aber wie kommt man auf so eine Überlegung? muss es ja verstehen um es in der Klausur, anzuwenden wenn es drankommt.

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Das ist eine sehr gute Frage! Möglicherweise wusste ich das schon und habe es einfach ohne zu überlegen angewendet. Vielleicht hilft die folgende, zusätzliche Überlegung: $$1-x=1^2-\sqrt{x}^2 = \left(1-\sqrt{x}\right) \cdot \left(1+\sqrt{x}\right)$$

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Um ehrlich zu sein sagt mir das gerade nichts.

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Furkan,
1 - x

1 = 1^2
x = ( √ x ) ^2

3.Binomische Formel

( a^2 - b^2 ) =
( a + b ) * ( a -b ) | Bitte dies einmal
ausmultiplizieren =
a^2 - b^2

( 1 - x ) = ersetzen
( 1^2 - ( √ x ) ^2 ) =
[ 1 + ( √ x ) ] * [ 1 - ( √ x )]
ausmultilpzieren
1 ^2 + ( √ x ) - ( √ x ) - ( √ x ) ^2
1 ^2 - ( √ x ) ^2
1 - x

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Endlich habe ich es Verstanden Wow Vielen Dank!! sie haben mir sehr geholfen.

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Sehr schön!

@G: :-)

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Am ende müsste aber + 1 stehen oder nicht?