Question

Wie zeige ich, dass der rechte Teil surjektiv ist und der linke nicht surjektiv ist?

Bild(Φ○ψ)⊆Bild(Φ)

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Bild(Φ) ("die rechte Seite") ist eine Menge. Für Mengen ist der Begriff "surjektiv" nicht definiert. Wie lautet das tatsächliche Problem?

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Also meine Aufgabe ist es ein Gegenbeispiel zu der anderen Teilmengeninklusion zu zeigen. Und mir wurde gesagt, dass man dafür zeigen muss, dass rechts surjektiv ist und links nicht surjektiv ist

Answer 1

ψ: ℝ → ℝ mit  ψ (x) = x^2      Φ : ℝ → ℝ mit  Φ(x) = x

Dann ist   Bild(Φ) = ℝ   und Bild(Φ○ψ)=ℝ^≥0

Also ist z.B.  -1 ∈ Bild(Φ)    aber     - 1 ∉ Bild(Φ○ψ)

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Danke danke danke!!!

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Könntest du mir eventuell hier auch auf die Sprünge helfen? Also ein Gegenbeispiel für die andere Teilmengeninklusion:

Bild(Φ+ψ)⊆Bild(Φ)+Bild(ψ)

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ψ: ℝ^2  → ℝ^2  mit ψ (x;y) = (x;y)

Φ : ℝ^2  → ℝ^2  mit Φ  (x;y) = (-x; -y)

==>   (Φ+ψ)  (x;y) = (0;0) für alle   (x;y) ∈ ℝ^2,

          also Bild (Φ+ψ) = { (0;0)}

Aber Bild (Φ) = ℝ^2,

         Bild (ψ) =ℝ^2,

 also    Bild (Φ) +   Bild (ψ) = ℝ^2 .

Also wäre etwa (1;1) ∈    Bild (Φ) +  Bild (ψ)

       aber (1;1)  ∉   Bild (Φ+ψ).