Vollständige Induktion, Zwischenschritt beim Beweis

Question

\( \sum\limits_{k=0}^{n}{k*k!} \) = (n+1)!-1

IA: n=0 (habe ich gemacht, war richtig, schreibe es deswegen nicht auf)

IS: (überspringe ich jetzt)

IB:

Z.z.: \( \sum\limits_{k=0}^{n+1}{k*k!} \)= (n+2)! - 1

\( \sum\limits_{k=0}^{n+1}{k*k!} \) = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{k*k!} \) + (n+1)*(n+1)!

(Wir entnehmen aus IV)=

= (n+1)! - 1 + (n+1)*(n+1)!

Wie mache ich jetzt weiter?

Das Buch hat mir einen Lösungsweg angegeben und dieser sieht so aus:

= (n+1)!-1+(n+1)*(n+1)!

= (n+1)!(1+n+1)-1= (n+2)(n+1)!-1=(n+2)!-1

Aber irgendwie verstehe ich die Umformungen nicht. Erscheint mir, warum auch immer, nicht schlüssig. Könnte mir jemand die Zwischenschritte eventuell erklären ?

Wäre echt mega nett !! :)

Answer 1

$$(n+1)! - 1 + (n+1)*(n+1)!=$$Existenz der 1 plus Kommutativ$$1*(n+1)! + (n+1)*(n+1)!-1=$$ Distributivgesetz $$(1+ (n+1))*(n+1)!-1=$$ Klammer auflösen plus 1+1=2$$(n+2)*(n+1)!-1=$$ Definition der Fakultät $$(n+2)!-1$$

Wzzw

Ganz sauber sind die Begründungen nicht , doch ich hoffe trotzdem verständlich.

Comments

Begründung geändert.

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Super! vielen Dank!

Das hilft mir wirklich sehr weiter, gracias :)

Answer 2

Du kannst \( (n+1)! \) ausklammern, dann bleibt übrig \( (n+1)! ( 1 + n+ 1 ) - 1 = (n+1)!(n+2) - 1 \) und weil \( (n+1)!(n+2) = (n+2)! \) gilt folgt die Behauptung.

Comments

Aber wenn ich das ausklammer, dann sieht das doch so aus:

= (n+1)!-1 +(n+1)!(n+1)

= n! +1-1 + (n+1)!(n+1)

= n! + (n+1)!(n+1)

Oder nicht ?

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Eindeutig: "Oder nicht."

Wie kommst du zur wahnwitzigen Umformung von

(n+1)! zu n!+1?

Nach dieser Logik wäre z.B. (2+1)! , also 3! = 1*2*3=6, das Gleiche wie 2!+1.

2!+1 ist allerdings 1*2+1=3.

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Stimmt, da hast du recht. Habe diesen Denkfehler gar nicht beachtet. Danke dir Abakus :)