Aloha :)
Die Kostenfunktion \(K(x,y)\) soll unter der Nebenbedinngung \(g(x,y)\) optimiert werden:$$K(x,y)=95x+53y\quad;\quad g(x,y)=5x^2+80xy+5y^2-6555\equiv0$$
Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Hier gibt es nur eine Nebenbedingung und daher auch nur einen Lagrange-Multiplikator \(\lambda\):$$\operatorname{grad}K(x,y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x,y)\quad\Longleftrightarrow\quad\binom{95}{53}=\lambda\binom{10x+80y}{80x+10y}$$Beide Vektoren müssen also kollinear sein, d.h. ihre Determinante muss null sein:$$0\stackrel!=\begin{vmatrix}95 & 10x+80y\\53 & 80x+10y\end{vmatrix}=95(80x+10y)-53(10x+80y)=7070x-3290y\implies$$$$y=\frac{7070}{3290}\,x=\frac{707}{329}\,x=\frac{101}{47}\,x$$
Wir setzen diese Erkenntnis in die Nebenbedingung ein:$$6555=5x^2+80x\cdot\frac{101}{47}\,x+5\left(\frac{101}{47}\,x\right)^2=\frac{441\,810}{47^2}\,x^2$$Da es keine negativen Produktionsmengen gibt, kommt nur die positive Wurzel als Lösung in Frage:
$$x=\sqrt{\frac{6555\cdot47^2}{441\,810}}\approx\boxed{5,72488062}\quad;\quad y=\frac{101}{47}x\approx\boxed{12,30240304}$$
Der Lagrange-Multiplikator lautet damit:$$\lambda=\frac{95}{10x+80y}=\frac{95}{1\,041,44105}\approx\boxed{0,09121976}$$Das gesuchte Verhältnis der Komponenten im Kostenminimum haben wir oben aus der Determinate erhalten:$$\frac{y}{x}=\frac{101}{47}\approx\boxed{2,148936}\quad;\quad\frac{x}{y}=\frac{47}{101}\approx\boxed{0,465347}$$
Als Produktionskosten im Optimum haben wir schließlich:$$K(5,7249|12,3024)=\boxed{1195,89}$$
