Unstetigkeit für ein Funktion mit Quotienten

Question

Aufgabe:

Für die Funktion

f(x)= { \( \frac{1}{m}\) ,falls x\(\in \)Q mit x= \( \frac{n}{m} \) für zwei teilerfremde Zahlen n\(\in \)Z und m\(\in \)N.

0, falls x\(\in \)R\Q}

ist zu zeigen, dass f in keinem Punkt in x\(\in \)Q stetig ist

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist es mir die Funktionswerte vorzustellen oder genauer zu sagen wie der Verlauf ausschaut.

Ich habe angefangen mit der Negation und wollte als Beweisschritt einen indirekten Beweis verwenden.

Hier nochmal die allgemeine Definition für Stetigkeit:

\(\forall\) \(\epsilon\)>0 \(\exists\) \(\delta\) >0 \(\forall\) x\(\in \)Q, |x-x₀|< \(\delta\) : |f(x)-f(x₀)| < \(\epsilon\)

und hier nochmal die negierte Version die in der Aufgabe zu zeigen ist:

\(\exists\) \(\epsilon\)>0 \(\forall\) \(\delta\) >0 \(\exists\) x\(\in \)Q, |x-x₀|< \(\delta\) : |f(x)-f(x₀)| \(\geq\) \(\epsilon\) 

Also habe ich angenommen, dass f in jedem Punkt x\(\in \)Q stetig ist und wollte einen Widerspruch erzeugen, da war nur das Problem, dass ich nicht weiß wie ich mein \(\epsilon\) und x sowie x₀ wählen soll sodass für alle \(\delta\) >0 die Bedingung |x-x₀|< \(\delta\) : |f(x)-f(x₀)| \(\geq\) \(\epsilon\) ist.

Könnte mir vielleicht einer einen Tipp geben? Am besten auch mit einer Visualisierung. Wie kann dann auch die Ungleichung im Beweisschritt aussehen?

Vielen Dank schon mal.

Answer 1

Also habe ich angenommen, dass f in jedem Punkt x\(\in \)Q stetig ist

Das ist nicht die Negation von

"... in allen Punkten stetig "   sondern die wäre:

Es gibt ein x ∈ ℚ bei dem f stetig ist.

Und das kannst du leicht zum Widerspruch führen, denn

wäre x ∈ ℚ bei dem f stetig ist, dann wäre f(x) = 1/m > 0.

Sei nun ε = 1/(2m) dann liegen in der  ε-Umgebung

von f(x) = 1/m alles nur positive Werte.

Jede δ-Umgebung von x enthält aber irrationale

Zahlen, für die der Funktionswert also 0 ist.

Somit gibt es keine δ-Umgebung von x, die

vollständig in die ε-Umgebung von f(x) abgebildet wird.

Comments

Könntest du nochmal erörtern warum in jeder delta-Umgebung von x nur irrationale zahlen sind? Bin ein wenig verwirrt, würde allein als Beweistext das so in Prosa reichen oder hättest du auch ein Beispiel wie man das mathematisch ausdrücken kann?

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Ich sagte nicht, dass in jeder delta-Umgebung von x nur irrationale zahlen sind,

sondern: dass in jeder delta-Umgebung von x AUCH irrationale zahlen sind.

weil Q in der Menge der reellen Zahlen dicht ist.