Aufgabe:
Für die Funktion
f(x)= { \( \frac{1}{m}\) ,falls x\(\in \)Q mit x= \( \frac{n}{m} \) für zwei teilerfremde Zahlen n\(\in \)Z und m\(\in \)N.
0, falls x\(\in \)R\Q}
ist zu zeigen, dass f in keinem Punkt in x\(\in \)Q stetig ist
Problem/Ansatz:
Mein Problem ist es mir die Funktionswerte vorzustellen oder genauer zu sagen wie der Verlauf ausschaut.
Ich habe angefangen mit der Negation und wollte als Beweisschritt einen indirekten Beweis verwenden.
Hier nochmal die allgemeine Definition für Stetigkeit:
\(\forall\) \(\epsilon\)>0 \(\exists\) \(\delta\) >0 \(\forall\) x\(\in \)Q, |x-x0|< \(\delta\) : |f(x)-f(x0)| < \(\epsilon\)
und hier nochmal die negierte Version die in der Aufgabe zu zeigen ist:
\(\exists\) \(\epsilon\)>0 \(\forall\) \(\delta\) >0 \(\exists\) x\(\in \)Q, |x-x0|< \(\delta\) : |f(x)-f(x0)| \(\geq\) \(\epsilon\)
Also habe ich angenommen, dass f in jedem Punkt x\(\in \)Q stetig ist und wollte einen Widerspruch erzeugen, da war nur das Problem, dass ich nicht weiß wie ich mein \(\epsilon\) und x sowie x0 wählen soll sodass für alle \(\delta\) >0 die Bedingung |x-x0|< \(\delta\) : |f(x)-f(x0)| \(\geq\) \(\epsilon\) ist.
Könnte mir vielleicht einer einen Tipp geben? Am besten auch mit einer Visualisierung. Wie kann dann auch die Ungleichung im Beweisschritt aussehen?
Vielen Dank schon mal.