Question

Für welche Gamma aus C ist F ein affines Koordinatensystem?

Gegeben seien die drei Vektoren (und der Ursprung, der aber soweit ich weiß für die Überprüfung der Affinität nicht relevant ist):

2+i           1           i*Gamma

-Gamma  2+i       -1-i

-i              1+2i     -2i

Die Aufgabenstellung ist oben bereits beschrieben. Ich habe dafür ein LGS aufgestellt um zu sehen, für welche Gamma man eine Nullzeile erhält, aber ich habe versehentlich direkt in der unteren Zeile eine Nullzeile erzeugt (durch elementares Rechnen wie Multiplizieren und Addieren von Zeilen). Heißt das, dass die Vektoren für alle Gamma aus C kein affines Koordinatensystem bilden oder verstehe ich etwas falsch? Denn bei einer Nullzeile heißt es ja, dass eine Variable von den anderen abhängig gemacht werden muss und dann ist das System aber kein affines Koordinatensystem mehr.

Answer 1

Aloha :)

Damit die 3 nicht notwendigerweise orthogonalen Vektoren ein affines Koordinatensystem aufspannen, müssen sie ein 3-dimensionales Volumen aufspannen. Über das aufgespannte Volumen gibt die Determinante Auskunft:

$$V=\begin{vmatrix}2+i & 1 & i\gamma\\-\gamma & 2+i & -1-i\\-i & 1+2i & -2i\end{vmatrix}=(2-i)\gamma^2-(2+3i)\gamma+2$$

Dieses Volumen wir \(0\) für \(\gamma=2i\) und \(\gamma=\frac{1-2i}{5}\). Für alle anderen Werte von \(\gamma\) spannen die 3 Vektoren daher ein 3-dimensionales affines Koordinatensystem auf.

Comments

Cool! Das macht Sinn. Aber war mein Ansatz ganz falsch? Ist die Aufgabe auch über ein LGS lösbar oder ist deine Lösung die einzige, die hier funktioniert? Ich würde das ganze gerne besser verstehen.

Vielen Dank in jedem Fall!

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Deine Idee funktioniert auch, also Auflösen des LGS nach dem Ergebnisvektor \(\vec 0\). Damit findest du diejenigen \(\gamma\), für die die 3 Vektoren linear abhängig voneinander sind und daher keinen 3-dimensionalen Raum aufspannen können.

Die Rechnungen sind aber meist fummeliger und fehleranfälliger gegenüber der Determinanten-Methode. Du musst dich auch irgendwo verrechnet haben. Wenn du nämlich eine Nullzeile erhältst, fällt dir eine Gleichung weg. Du hast dann noch 2 Gleichungen für 3 Unbekannte. Das heißt, du hast einen Freiheitsgrad (Dimension), kannst also eine Variable völlig frei wählen. Die beiden anderen Variablen sind dann durch die beiden Gleichungen fest bestimmt.