Bestimme einen Punkt im dreidimensionalen Koordinatensystem durch Abstände

Question

Aufgabe:

Bestimme einen Punkt im dreidimensionalen Koordinatensystem durch die Abstände aus drei weiteren Punkten.

Verhältnisse sind im Allgemeinen diese:

https://www.matheretter.de/rechner/schragbild?draw=dreieck(0%7C0%7C0%200%7C5%7C0%202%7C2%7C0)%0Astrecke(0%7C0%7C0%201%7C3%7C5)%0Astrecke(0%7C5%7C0%201%7C3%7C5)%0Astrecke(2%7C2%7C0%201%7C3%7C5)%0Atext(1%7C3%7C3%20%22Bekannter%20Abstand%22)%0Atext(1%7C3%7C5%20%22Unbekannter%20Punkt%22)&scale=10&pa=45

Problem/Ansatz:

Bestimmt werden muss der Punkt anhand von 3 vorgegebenen Punkten, welche ein Dreieck bilden. Von diesen 3 Punkten ist lediglich der Abstand zum unbekannten Punkt bekannt. Wie kann theoretisch der Lösungsweg für dieses Problem aussehen?

Comments

geht es nicht...

Doch, aber nicht eindeutig. Die Abstände in seiner Grafik wären in meiner Antwort \(d_1\approx 5.916\), \(d_2\approx 5.477\), \(d_3\approx 5.196\) und damit erhält man ca. die Lösungstripel \((1,3,-5)\) und \((1,3,5)\). Sagt man a priori \(z>0\), so ist es sogar eindeutig.

Ich weiß nur nicht, was die gelbe Strecke repräsentieren soll. (in der Grafik von ThomasGenauso)

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Man kann sich das so vorstellen: Man bläst um jeden gegebenen Punkt einen Ball mit dem Radius, den der Punkt zum gesuchten Punkt haben soll, auf. Wann schneiden sich diese drei Bälle in genau zwei Punkten?

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Das mit der gelben Linie tut mir Leid, die war in der 2D Ansicht nicht wegzubekommen. @racine_carrée

Bin mittlerweile schon den ein oder anderen Tag aus der Schule raus, daher ist das bei mir nicht mehr so frisch im Gedächtnis.

Z befindet sich in meinem Problemfall immer über 0. Daher stellt dies kein Problem dar.

Vielen Dank für die Hilfe.

Answer 1

Hallo,

exemplarisch: wir haben eine pyramidialen Körper (vgl. deine Grafik) mit den Eckpunkten der Grundfläche \(A=(0,0,0)\), \(B=(0,5,0)\), \(C=(2,2,0)\) und du wüsstest das diese Eckpunkte zur Spitze \(S\) den Abstand \(||\overrightarrow{AS}||=d_1\), \(||\overrightarrow{BS}||=d_2\) und \(||\overrightarrow{CS}||=d_3\) haben. Dann gilt über die Abstandsformel mit Pythagoras:

Also:$$||\overrightarrow{AS}||^2=(0-x)^2+(0-y)^2+(0-z)^2=d_1^2$$$$||\overrightarrow{BS}||^2=(0-x)^2+(5-y)^2+(0-z)^2=d_2^2$$$$||\overrightarrow{CS}||^2=(2-x)^2+(2-y)^2+(0-z)^2=d_3^2$$ Das ist ein Gleichungssystem. Du musst dir ggf. Gedanken über die eindeutige Lösbarkeit machen.