Zeigen Sie, dass die Folge (an)n∈N beschränkt ist, und bestimmen Sie anschließend alle Häufungspunkte von (an)n∈N so …

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Folge (an) n∈ N mit an:=(1 + 1durch n quadrat ) .cos(n(π durch 3)) für alle n∈N.

Zeigen Sie, dass die Folge (an)n∈N beschränkt ist, und bestimmen Sie anschließend alle Häufungspunkte von (an)n∈N so wie lim infn→∞an und lim supn→∞an.

Answer 1

beschränkt :

( 1+ 1/n^2) liegt immer in [ 1 ; 2 ]  und der Betrag von cos(...)  in [-1 ; 1 ].

Für n gegen unendlich geht der erste Faktor gegen 1.  Und der zweite Faktor nimmt

immer zyklisch die Werte 1/2  ;   -1/2   ;  -1  ;  -1/2  ; 1/2  ;  1  ... an.

Das sind also die Häufungspunkte.

Comments

denn ist die Folge zwischen welche intervall beschränkt ?

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zwischen -2 und 2 .