Ein UVR ist genau dann endlichdimensional wenn R\X endlich ist

Question

Aufgabe: SeiX⊆R,V :=Abb(R,R)und W :={f∈V |f(x)=0fürallex∈X}. (W ist ein UVR von V)  Zeigen sie dass:

W ist genau dann endlichdimensional, wenn die Menge R\X endlich ist

Comments

Betrachte für \( y \in \mathbb R\backslash X\) die Abbildungen

$$ f_y ~:~ \mathbb R \to \mathbb R, ~z \mapsto \begin{cases}1 & y=z\\ 0 & y\neq z\end{cases} $$

Warum ist \(f_y \in W_X\)? Sind die \( (f_y)_{y\in\mathbb R\backslash X} \) linear unabhängig? Ein Erzeugendensystem?

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Vielen Dank für die Antwort! Ich habe es geschafft zu zeigen dass fy eine Basis bildet (also linear Unabhängigkeit und EZS) aber ich kann noch nicht so gut erklären warum fy ein Element von Wx ist. Soll man denn zeigen dass y≠z immer gilt, also dass Wx:= Abb(R\X,R) ist? Und wenn ja haben Sie einen Tipp wie ich das machen kann?

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Die Familie \( (f_y)_{y\in\mathbb R\backslash X}\) ist nur ein Erzeugendensystem, wenn IR\X endlich. Denk da bitte nochmal drüber nach!

aber ich kann noch nicht so gut erklären warum fy ein Element von Wx ist

Dafür musst du nur zeigen, dass \( f_y(z)=0~\forall z\in X \) gilt.

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Kann man irgendwie zeigen dass Wx:=Abb(R\X,R) ist? Dann kann man ja auch zeigen dass die Familie fy_yeR\X eine EZS ist wenn |R\X endlich ist, oder?

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Jein. Du kannst zeigen, dass $$ W_X \cong \operatorname{Abb}(\mathbb R\backslash X,\mathbb R)$$