Zeigen Sie, dass die Ebenen sich scheiden.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Ebenen E₁ : x= (1 1 2)+r (-4 1 3)+s (4 2 -3) und E₂: x-2y+z = 4

a) Zeigen Sie, dass die Ebenen sich scheiden. Bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden g.

Zu a)

Koordinaten von E,

x: 1-4r + 4s

y: 1+r+2s

x: 2+3r-3s

Einsetzen in Koordinatengleichung: (1-4r+4s) -2 (1+r+2s) + (2+3r-3s) = 4

                                                         1-4r+4s-2+2r+2s+2+3r-3s            = 4

                                                       r                                                   = 3-3s

Als Ergebnis habe ich dann (-11 4 11)+ s (16 -1 -12)

kann mir vielleicht jemand sagen, ob das so richtig ist.

Problem/Ansatz:

b)

Die Ebene E1 schneidet die x-z-Ebene in einer Geraden h. Bestimmen Sie eine Gleichung von h.

Und bei Aufgabe b) weiß ich gar nicht was zutun ist, vielleicht kann mir das jemand helfen.

Und es tut mir leid für meine Schreibweise, das in Klammern sind natürlich Spaltenvektoren, wusste aber leider nicht wie man das hier aufschreibt .

Answer 1

Ich komme auf ein etwas anderes Ergebnis für r

(1 - 4·r + 4·s) - 2·(1 + r + 2·s) + (2 + 3·r - 3·s) = 4 --> r = -s - 1

Rechne das also nochmals nach.

Schnittgerade

[1, 1, 2] + (-s - 1)·[-4, 1, 3] + s·[4, 2, -3] = [5, 0, - 1] + s·[8, 1, - 6]

Comments

Danke für deine Hilfe, ich habe es nun auch richtig lösen können. Könntest du mir für b) beim Ansatz helfen?

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Die x-z-Ebene ist bei y = 0 also setzen wir y einfach gleich 0

E1: X = [1, 1, 2] + r·[-4, 1, 3] + s·[4, 2, -3]

1 + r + 2s = 0 --> r = - 2·s - 1

Schnittgerade

X = [1, 1, 2] + (- 2·s - 1)·[-4, 1, 3] + s·[4, 2, -3] = [5, 0, - 1] + s·[12, 0, - 9]

Answer 2

(1-4r+4s) -2 (1+r+2s) + (2+3r-3s) = 4   ✓  Aber dann:

statt 1-4r+4s-2+2r+2s+2+3r-3s           = 4

richtig 1-4r+4s-2-2r-4s+2+3r-3s           = 4

==>      1  -3r - 3s = 4

==>          -3r - 3s = 3

==>     r =  -1 - s . Das gibt dann

Vektor x = (5 ; 0 ; -1 ) + s*-(8 ; 1 ;-6)