Anfangswertproblem differentialgleichung mit mehreren unbekannten

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 5
$$ (8=2+4+2 \text { Punkte }) $$
Bei einer bimolekularen Reaktion bildet sich aus jeweils einem Molekül der Substanz A und einem Molekül der Substanz B ein Molekül der Substanz \( C . \) Die Konzentrationen der Substanzen A und B zum Zeitpunkt \( t=0 \) seien a und b. Die Konzentration \( y(t) \) der Substanz C zum Zeitpunkt \( t \) sei zu Beginn 0 und sie wächst monoton, bis eine der beiden Substanzen A oder B komplett aufgebraucht ist. Man beobachtet, daß die Reaktionsgeschwindigkeit \( y^{\prime}(t) \) gegeben ist durch \( y^{\prime}=k(a-y)(b-y) \quad \) mit einer Konstanten \( k>0 \)
Also ist die Konzentration \( y(t) \) die Lösung eines Anfangswertproblems.
(a) Lösen Sie die obige Anfangswertproblem im Fall \( b=a \).
(b) Lösen Sie die obige Anfangswertproblem im Fall \( b>a \).
(c) Zeigen Sie, daß in beiden Fällen gilt \( \lim \limits_{t \rightarrow \infty} y(t)=a \).
Hinweis: Sie dürfen \( a-y(t)>0 \) und \( b-y(t)>0 \) annehmen, da ansonsten die Reaktion endet.

Problem/Ansatz:

Also falls jemand einige ansätze für diese aufgabe hat wäre ich sehr dankbar. Ich finds sehr schwer mich da rein zu denken.

Answer 1

Hallo,

a)  Fall b=a :

y'(t)=k (a-y)(a-y) =(a-y)^2

dy/dt= k*(a-y)^2

dy/((a-y)^2) = k*dt

linkes Integral: z=a-y

1/(a-y)=k* t+C | Reziproke

a-y=1/(kt+C)

y= a -1/(kt+C)

c) für Fall b=a und b>a

\( \lim\limits_{t\to\infty} \) ( a -1/(kt+C))

kt +C ->∞

1/(kt+C) ->0

--->

\( \lim\limits_{t\to\infty} \) ( a -1/(kt+C)) =a

b) b>a

------->

a kann vernachlässigt werden=0

y'(t)=k (a-y)(b-y)

y'(t)= (-ky)(b-y)

dy/dt= (-ky)(b-y)

dy/((y(b-y)) =-k dt

(1/b) (ln|y| -ln|y-b|)= -kt +C

->nach y auflösen:

y= (-b C₁ e^(-bkt))/(1 -C₁ e^(-bkt)

Comments

was muss man nach use noch machen? Verstehe das nicht so ganz

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also muss ich die jetzt ausrechnen die Klammern und habe das Ergebnis?

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JA , siehe oben