Anfangswertproblem differentialgleichung mit tan und cos

Question

Aufgabe:

Anfangswertproblem soll gelöst werden.

y‘= -tan(t)y-cos(t) mit y(0)=1

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht ganz wie man an die aufgabe rangehen soll. Bitte helft mir

Answer 1

Hallo,

Lösung via " Variation der Konstanten"

y‘= -tan(t)y-cos(t) , y(0)=1 |+tan(t)y

y' +tan(t)y = -cos(t)

1) homogene Gleichung:

y' +tan(t)y =0 ->Lösung via Trennung der Variablen

dy/dt= - tan(t) y

dy/y= -tan(t) dt

ln|y| =ln|cos(t) +C | e hoch

|y| =e^(ln|cos(t) +C ) =cos(t) *e^C

y=cos(t) * ± e^C --------> ± e^C =C₁

yh= C₁ *cos(t)

2) C₁=C(t)

yp=C(t) *cos(t) ->Produktregel

yp'=C'(t) *cos(t) - C(t) sin(t)

3) Einsetzen von yp und yp' in die DGL

C(t) muß sich herauskürzen

y‘= -tan(t)y-cos(t)

C'(t) *cos(t) - C(t) sin(t)= -tan(t) *C(t) *cos(t) -cos(t)

C'(t) *cos(t) = -cos(t)

C'(t) = -1 

C(t)= -t

4) yp=C(t) *cos(t) = -t *cos(t)

5)y= yh+yp

6)AWB in die Lösung einsetzen

Lösung: y=C₁ cos(t) - t cos(t)

mit AWB:

y= -(t-1) cos(t)