Bestimme die Funktionsgleichung (Polynom 3.Grades) ohne dabei Abzuleiten

Question

Aufgabe:

Bestimme die Funktionsgleichung \( y=f(x)=\quad ? ? \quad \) passend zur Kurve \( ( \) so, dass \( z \).B. mit Photomath oder mit GeoGebra die Kurve wieder automatisch gezeichnet werden kann). Verwende dazu das Punktsymmetriezentrum (alt: Scheitelpunkt, später Wendepunkt) Sowie den Kurvenpunkt \( P(4 \mid f(4)) \)

Problem/Ansatz:

Das Problem ist, das hier weder Ableitungen noch Hornerschema oder etwaiges verwendet werden dürfen.

Keine Ahnung wie genau ich diese Polynomfunktion für meine Schwester (in der 11 Klasse) ohne die von mir bekannten und genutzten Methodiken lösen soll...

Hat da jemand einen Ansatz?

Answer 1

Strecke den Graphen von y = x^3 entlang der y, Achse und verschiebe den Graphen.  Dann bekomme ich folgende Funktion:

f(x) = - 3·(x + 1)^3 - 2

Der Kurvenpunkt (4 | f(4)) ist ja nicht mal bekannt und kann somit auch nicht verwendet werden.

Skizze:

~plot~ -3(x+1)^3-2 ~plot~

Comments

Also ich bin mir jetzt nicht ganz sicher was mit Strecken des Graphen gemeint ist.

Hast du die Funktion grafisch aufgestellt? oder wie genau hast du das berechnet? (mir Reicht auch Stichpunktartige Herangehensweise)

Answer 2

Hm,

verschiebe die Kurve in den Ursprung, dann findet sich leicht eine Funktionsgleichung.

Und verschiebe mit geeigneter Koordinatentranslation zurück, etwa

vielleicht war das das so gemaint?

Comments

Wie will ich den Graphen den verschieben, wenn ich nicht mal die exakten Punkte kenne?

Wie kommst du darauf, dass der Graf -3x³ ist ? Also das es sich um ein Polynom 3. Grades handelt weiß ich, aber wie erkennst du die -3?

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Nun,

durch abschätzen von Funktionspunkten an ganzzahligen Gitterpunkten - zu irgend was muss das Bild doch gut sein - es muss zumindest zulässig sein da was raus zu lesen, oder?

Answer 3

"Bestimme die Funktionsgleichung \( y=f(x)=\quad ? ? \quad \) passend zur Kurve \( ( \) so, dass \( z \).B. mit Photomath oder mit GeoGebra die Kurve wieder automatisch gezeichnet werden kann). Verwende dazu das Punktsymmetriezentrum (alt: Scheitelpunkt, später Wendepunkt) Sowie den Kurvenpunkt \( P(4 \mid f(4)) \)"

Das Punktsymmetriezentrum liegt an der Stelle W(1|-2).

Ich verschiebe nun den Graph um 2 Einheiten nach oben: W´(1|0)  und Kurvenpunkt \( P´(4 \mid f(4+2)) \)

Nun weiter mit der Nullstellenform der Parabel 3.Grades:

p(x)=a*(x-N₁)*(x-N₂)*(x-N₃)

Jetzt ist der Wendepunkt eine Dreifachnullstelle:

p(x) = a*(x-1)^3

\( P´(4 \mid f(4+2)) \)

p(4) = a*(4-1)^3

a*(4-1)^3=f(6)

a=\( \frac{f(6)}{27} \)

p(x)=\( \frac{f(6)}{27} \)(x-1)^3

Nun wieder um 2 Einheiten nach unten:

f(x)=\( \frac{f(6)}{27} \)(x-1)^3-2

Comments

Du hättest   f(4)+2 ≠ f(4+2)   beachten sollen und wärst zum richtigen Ergebnis
f(x) = (f(4)+2)·((x-1)/3)^3 - 2  gekommen.

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Danke für den Hinweis! Ja, an der Stelle x=6 existiert ein anderer Funktionswert.

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... und wärst zum richtigen Ergebnis f(x) = (f(4)+2)·((x-1)/3)³ - 2  gekommen.

richtig ist das auch nicht

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p(x) = a*(x-1)^3  ist auch nicht richtig  → p(x) = a*(x+1)^3

Aber so komme ich leider auch nicht auf das korrekte Ergebnis.