Eigenwerte einer Matrix überprüfen

Question

Aufgabe:

Man soll von der Matrix

\( M=\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{(3,3)} \)

Die eigenwerte 0 und 3 überprüfen und zeigen dass es keine andere eigenwerte es gibt

Durch elementare Zeilenumformungen von  M − λI_3 folgt die Matrix

\( C=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1-\lambda \\ 0 & 3-\lambda & \lambda \\ 0 & 0 & (3-\lambda) \lambda\end{array}\right] \)

Problem/Ansatz:

Was macht man mit den eigenwerten? In C einsetzen? Wenn man das macht folgt das x1 - x2 =0 ist in der ersten zeile..

Answer 1

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Das musst Du ausrechnen. Bei einer oberen Dreiecksmatrix ist das einfach. Nämlich das Produkt der Diagonalelemente.

Comments

Was ist das charakteristische Polynom? Das hatte ich leider noch nicht.

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Wenn es was mit determinaten zu tun hat, hatten wir die noch nicht.

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Wenn Du eine Matrixgleichung \( Av = \lambda v \) für \( v \ne 0 \) hast, dann ist \( \lambda \) ein Eigenwert. Ich denke die Definition hattet ihr?

Daraus folgt aber das gelten muss $$ (A-\lambda I ) v = 0  $$ mit \( I \) = Einheitsmatrix. Die Gleichung hat aber nur nicht triviale Lösungen, also Lösungen mit \( v \ne 0 \) wenn $$ \det(A-\lambda I) = 0 $$ gilt. Das charakterischtiische Polynom ist nun $$ p(\lambda) =\det(A-\lambda I $$

D.h. die Eigenwerte sind die Nullstellen von \( p(\lambda) \). Wenn Du diese ausrechnest, sieht man dass nur die \( \lambda_1 = 0 \) und \( \lambda_2 = 3 \) als Lösungen in Fage kommen.

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Leider hatten wir noch keine determinaten...

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Tja dann mach es so. Ich habe Deine Umformung nicht überprüft. Wenn Sie stimmt folgen doch folgende Gleichungen

$$ (1) \quad (3-\lambda) \lambda \ v_z = 0 $$ Ist jetzt \( \lambda \ne 0 \text{ und } \lambda \ne 3 \) folgt \( v_z = 0 \).

Weiter hast Du die Gleichung

$$ (2) \quad (3-\lambda) \ v_y + \lambda \ v_z = 0  $$ Wegen \( v_z = 0 \) und \( \lambda \ne 3 \) folgt auch \( v_y = 0 \)

Und jetzt noch die letzte Gleichung

$$ (3) \quad v_x - v_y + (1-\lambda) v_z = 0 $$ Wegen \( v_z = v_y = 0 \) folgt \( v_x =  0 \)

Also gibt es nur Lösungen \( v \ne 0 \) für \( \lambda = 0 \) oder \( \lambda = 3 \)

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Ist das dann eine Begründung durch Kontraposition?

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Ja, Du nimmst ja an, es gibt Eigenwerte \( \ne 0 \) und \( \ne 3 \) und das führt zum Widerspruch.

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Danke, jetzt habe ich es verstanden.