Ich zeige mal (a), die andere geht genauso.
Sei $$ y(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k $$ dann gilt $$ y'(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k k x^{k-1} = \sum_{k=0}^\infty a_{k+1}(k+1)x^k $$
Einsetzen in die Dgl. liefert
$$ (1) \quad \sum_{k=0}^\infty a_k k x^{k-1} = \sum_{k=0}^\infty a_{k+1}(k+1)x^k =\sum_{k=0}^\infty a_k x^k + 1 +2x $$
Aus \( y(0) = -2 \) folgt sofort \( a_0 = -2 \)
Aus (1) folgt durch vergleich der Potenzen von \( x \)
$$ (2) \quad a_1 = a_0 +1 = -1 $$
$$ (3) \quad a_2 = \frac{1}{2!} $$
$$ a_3 = \frac{1}{3!} $$
Im allgemeinen gilt für \( k\ge 2 \)
$$ (4) \quad a_{k+1} = \frac{a_k}{k+1} $$
D.h. $$ y(x) = -2 - x + \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!} x^k = e^x -3 -2x $$
