Stetigkeit von komplexen Funktionen

Question

Aufgabe:

Seien \( a, b, c \in \mathbb{R} \) mit \( a<b<c \) und \( f_{1}:[a, b] \rightarrow \mathbb{C} \) und \( f_{2}:[b, c] \rightarrow \mathbb{C} \) stetige Funktionen mit \( f_{1}(b)=f_{2}(b) \). Zeigen Sie, dass dann auch die Funktion
\( f:[a, c] \rightarrow \mathbb{C} ; f(x)=\left\{\begin{array}{ll} f_{1}(x) & \text { falls } x \in[a, b], \\ f_{2}(x) & \text { falls } x \in[b, c], \end{array}\right. \)
stetig ist.

Problem/Ansatz:

,

Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. Kann mir dabei bitte jemand helfen?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Es gilt \(\lim\limits_{x\nearrow b}f(x) = \lim\limits_{x\searrow b}f(x) = f(b)\)

Comments

Vielen Dank erstmal.

Wieso gilt das denn? Bzw. benötige ich das zum Beweis?

---

Wieso gilt das denn?

 \(\lim\limits_{x\nearrow b}f(x) = \lim\limits_{x\searrow b}f(x)\) gilt, weil

        \(\lim\limits_{x\nearrow b}f(x) = \lim\limits_{x\nearrow b}f_1(x)\)

und

        \(\lim\limits_{x\searrow b}f(x) = \lim\limits_{x\searrow b}f_2(x)\)

ist und \(f_1\) und \(f_2\) stetig sind und

        \(f_1(b)=f_2(b)\)

ist.

benötige ich das zum Beweis?

Das ist der Beweis.

---

Ok danke...eine letzte Frage...was bedeuten die diagonalen Pfeile unter den Limennzen?

---

\(\lim\limits_{x\nearrow b}f(x)\) ist der linksseitige Grenzwert von \(f\) für \(x\to b\). Das heißt, es wird im ε-δ-Kriterium anstatt der Umgebung

        (b-δ, b+δ)

nur die Umgebung

        (b-δ, b)

betrachtet. Dementsprechend wird beim rechtsseitigen Grenzwert nur die Umgebung

        (b, b+δ)

betrachtet.

Das sind sogenannte einseitige Grenzwerte. Ein wichtiger Zusammenhang zwischen Grenzwerten und einseitigen Grenzwerten ist

Satz. Existieren \(\lim\limits_{x\nearrow b}f(x)\) und \(\lim\limits_{x\searrow b}f(x)\) und gilt

        \(\lim\limits_{x\nearrow b}f(x) = \lim\limits_{x\searrow b}f(x)\),

dann existiert \(\lim\limits_{x\to b}f(x)\) und es gilt

        \(\lim\limits_{x\to b}f(x) = \lim\limits_{x\searrow b}f(x)\).